Taban Değiştirme Matrisi

V vektör uzayı ve onun iki tabanı verilmişse, uzaydaki bir vektörü her iki tabanın vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak ayrı ayrı yazabiliriz. Taban değiştirme matrisi, bu yazılışlardan birini ötekine çevirmemize yardım eder.

Motivasyon

n boyutlu bir V vektör uzayı ve onun iki farklı tabanı E = {e₁, …, e_n} ile F = {f₁, …, f_n} verilsin. Ayrıca V uzayından herhangi bir x vektörü seçelim. x vektörü V uzayında olduğundan ve E ile F bu uzayın tabanları olduğundan, öyle a₁, …, a_n katsayıları vardır ki:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

ve aynı zamanda öyle b₁, …, b_n katsayıları da vardır ki:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Birinci durumda x vektörünü E tabanıyla, ikinci durumda F tabanıyla ifade ediyoruz. x vektörünü yazmak için iki farklı taban kullandığımızdan, aynı zamanda iki farklı katsayı kümesi elde ederiz: a_i ve b_i. Şu soru ortaya çıkar: b_i katsayılarını biliyorsak, bunlardan a_i katsayılarını, yani öbür tabana göre yazılışı bulmanın bir yolu var mı?

Evet, bunun için taban değiştirme matrisi kullanılır.

Taban Değiştirme Matrisi Nasıl Bulunur

Yine V uzayı ve iki tabanı E = {e₁, …, e_n} ile F = {f₁, …, f_n} üzerinden gidelim. E, V uzayının tabanı olduğundan, f₁, …, f_n vektörlerinin hepsi de E tabanındaki vektörlerin doğrusal birleşimi olarak yazılabilir. f₁, …, f_n vektörleri F tabanının parçasıdır, ama aynı zamanda V uzayının sıradan elemanlarıdır, bu yüzden şu eşitlikler sağlanmalıdır:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Şimdi bu denklemleri matris olarak şöyle yazalım: matrisin birinci sütununda $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$ vektörünün katsayıları, yani a_i1, ikinci sütununda $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$ vektörünün katsayıları, yani a_i2 olsun ve böyle devam etsin. Şu matrisi elde ederiz:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Böyle bir matrise E tabanından F tabanına geçiş matrisi denir. V uzayından, F tabanına göre b₁, …, b_n katsayılarına sahip bir x = (x₁,…, x_n) vektörümüz varsa, E tabanına göre a₁, …, a_n katsayılarını şöyle buluruz:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Örnek

ℝ³ vektör uzayında çalışalım. Birinci taban olarak standart tabanı seçelim: E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; ikinci taban ise F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)} olsun. E tabanından F tabanına geçiş matrisi şu biçimde olur:

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Şimdi herhangi bir x ∈ ℝ³ vektörü seçelim, örneğin x = (12, 41, 28). Bu vektörün F tabanına göre katsayıları b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7’dir. Bu durumda matrislerin çarpımını yaparız:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

x vektörünün E tabanına göre katsayıları a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28 olur. Yani şu eşitlik sağlanır:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$