Combinación lineal de vectores

La combinación lineal es un procedimiento para construir un vector nuevo a partir de un conjunto de vectores usando solo sumas y multiplicaciones.

Qué es una combinación lineal

Sea V un espacio vectorial. Sabemos que el espacio es cerrado para la operación de suma de vectores, así que para dos vectores x, y ∈ V siempre se cumple que x + y ∈ V. Si sumamos dos vectores, obtenemos de nuevo un vector del mismo espacio. Lo mismo vale para la multiplicación por un escalar. Si tenemos un k ∈ ℝ, también k · x ∈ V.

Podemos combinar las dos operaciones: tomamos k, l ∈ ℝ y la expresión k · x + l · y nos da de nuevo un vector, que llamaremos v, y este vector v estará también en el espacio V. ¿Por qué? k · x ∈ V y, al mismo tiempo, l · y ∈ V. Estamos sumando dos vectores del espacio V, así que por definición tenemos que obtener un vector del espacio V.

Podemos decir, pues, que el vector v es una combinación lineal de los vectores x e y. En general: si tenemos los vectores x₁, x₂, …, x_n y los números reales k₁, k₂, …, k_n, a los que llamamos coeficientes, una combinación lineal de estos vectores es el vector v que obtenemos como

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Ejemplo: tomemos el espacio ℝ² y dos vectores suyos: (2, 3) y (0, 8). Ahora elegimos los coeficientes k₁ = 2, k₂ = 5. Mediante la combinación lineal de estos vectores con los coeficientes k₁, k₂ obtenemos el vector

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Vemos que hemos obtenido el vector (4, 46), que pertenece al espacio ℝ². Si eligiéramos otros coeficientes, obtendríamos otro vector. Para k₁ = 0, k₂ = −1 tenemos:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Vectores linealmente dependientes

Las combinaciones lineales están relacionadas con los vectores linealmente dependientes o linealmente independientes. Lo veremos con un ejemplo: consideremos el espacio vectorial ℝ² y un conjunto Q de vectores de este espacio:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Ahora nos interesa saber si podemos expresar alguno de estos cuatro vectores como combinación lineal de los otros tres. Si miramos los vectores, vemos que el vector (3, 5) es igual a la simple suma de los dos primeros.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

El vector (3, 5) es, por tanto, una combinación lineal de los vectores (1, 1) y (2, 4). Para divertirnos, quitaremos este vector del conjunto Q. Obtenemos un conjunto nuevo Q₁ de la forma:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

¿Encontramos ahí algún otro vector que sea combinación lineal de los demás? Sí, el vector (10, 18) es combinación lineal de los dos primeros para k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Quitamos de nuevo este vector y obtenemos:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Volvemos a preguntar: ¿podemos obtener uno de los vectores como combinación del otro? No podemos: ningún múltiplo del vector (1, 1) será igual al vector (2, 4).

Hemos obtenido un conjunto de vectores en el que ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. A un conjunto así lo llamamos conjunto de vectores linealmente independiente. Si un vector se puede expresar como combinación de los demás, decimos que es un vector linealmente dependiente. Si no se puede expresar, decimos que es un vector linealmente independiente.

Vector nulo

El vector nulo 0 desempeña un papel importante en la dependencia lineal. Volvamos al conjunto de vectores Q₁ y al espacio ℝ². El conjunto Q₁ es así:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

y ya sabemos que el vector (10, 18) es dependiente, porque 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). ¿Qué pasaría, entonces, si a la expresión 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) le restáramos el vector (10, 18)? O, dicho de otro modo, si le sumáramos su producto por −1. Sería así:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Esta expresión sería sin duda igual al vector nulo:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

De aquí podemos deducir una propiedad interesante. Si un conjunto de vectores x₁, x₂, …, x_n es linealmente dependiente, entonces existen coeficientes reales a₁, a₂, …, a_n tales que

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Además, al menos un coeficiente a_i tiene que ser distinto de cero. Si sustituyéramos todos los coeficientes por cero, obtendríamos siempre una ecuación que se cumple, y entonces resultaría que todo conjunto de vectores es linealmente dependiente, lo cual es sin duda un disparate. La justificación de la ecuación anterior es sencilla. Si, por ejemplo, el vector x₁ es linealmente dependiente, esto significa que

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Basta sumar −x₁ a esta ecuación para obtener

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Cómo saber si unos vectores son dependientes

Si tenemos los vectores x₁, x₂, …, x_n y queremos saber si son linealmente dependientes o independientes, basta resolver la ecuación mencionada

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

es decir, hallar los coeficientes a_i. Si nos movemos en el espacio ℝ³, podríamos tener estos vectores: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Como queremos saber si son dependientes, resolvemos esta ecuación:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Esta ecuación solo hay que desarrollarla según la definición de suma de vectores y de multiplicación de vectores por un escalar. Se cumple que a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁), etcétera. Lo desarrollamos así:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Ahora desarrollamos la suma. Sumamos siempre las componentes que ocupan la misma posición, así que sumamos la primera componente del primer vector a₁ con la primera componente del segundo vector 2a₂ y con la primera componente del tercer vector a₃, y todo eso tiene que ser igual a la primera componente del vector nulo, es decir, a cero. Y lo mismo para la segunda y la tercera componente. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Este sistema podemos escribirlo, como de costumbre, en forma de matriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Fíjate en que en las columnas de esta matriz están, en realidad, los vectores originales. En la primera columna de la matriz está el vector original (1, 2, 3), en la tercera está el vector (1, −4, 5), etcétera. Al calcular, por tanto, no hace falta que hagas siempre todas estas complicadas transformaciones: esta matriz la construyes colocando en las columnas los vectores de los que quieres saber si son dependientes y añadiendo después una columna de ceros.

El sistema podemos resolverlo con el método de Gauss. Transformamos la matriz en una matriz escalonada. Primero sumamos a la segunda fila −2 veces la primera fila y a la tercera fila le sumamos −3 veces la primera fila:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Ahora podemos sumar a la segunda fila 3 veces la tercera fila:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Ya ni siquiera hace falta seguir calculando: hemos obtenido una fila de ceros, lo que indica que los vectores son linealmente dependientes. Pero podemos terminar de resolver el sistema. Elegimos el parámetro a₃ = t. Entonces, de la ecuación

$$a_2+2a_3=0$$

que es la última fila de la matriz, obtenemos, sustituyendo a₃ = t, la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Ahora sustituimos estos valores en la primera ecuación, es decir, en la primera fila de la matriz:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Tenemos, pues, a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Si damos a t, por ejemplo, el valor t = 3, obtenemos una solución concreta a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Estos coeficientes podemos sustituirlos en la ecuación original

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

y obtenemos:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Simplificamos el primer miembro:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Vemos que, si elegimos como coeficientes, por ejemplo, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, obtenemos el vector nulo a partir de los vectores (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Si el sistema solo tuviera la solución trivial (la nula), los vectores serían linealmente independientes.