Vektorok lineáris kombinációja

A lineáris kombináció olyan eljárás, amellyel egy adott vektorhalmazból csupán összeadással és szorzással új vektort állíthatunk elő.

Mi a lineáris kombináció

Legyen adott egy V vektortér. Tudjuk, hogy a tér zárt a vektorok összeadására, tehát két x, y ∈ V vektorra mindig igaz, hogy x + y ∈ V. Ha összeadunk két vektort, ugyanabból a térből kapunk újra vektort. Ugyanez igaz a skalárral való szorzásra is. Ha van egy k ∈ ℝ számunk, akkor k · x ∈ V.

A két műveletet kombinálhatjuk – vegyük a k, l ∈ ℝ számokat, és a k · x + l · y kifejezés ismét új vektort ad, jelöljük v-vel, és ez a v vektor ismét a V térben lesz. Miért? k · x ∈ V, és egyúttal biztosan l · y ∈ V. A V tér két vektorát adjuk össze, tehát a definíció szerint a V tér egy vektorát kell kapnunk.

Mondhatjuk tehát, hogy a v vektor az x és az y vektor lineáris kombinációja. Általánosan: ha adottak az x₁, x₂, …, x_n vektorok és a k₁, k₂, …, k_n valós számok, amelyeket együtthatóknak nevezünk, akkor ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja az a v vektor, amelyet így kapunk:

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Példa: vegyük az ℝ² teret és két vektort belőle: (2; 3) és (0; 8). Most válasszuk meg az együtthatókat: k₁ = 2, k₂ = 5. E vektorok k₁, k₂ együtthatós lineáris kombinációjaként a következő vektort kapjuk:

$2 \cdot (2; 3) + 5 \cdot (0; 8) = (4; 6) + (0; 40) = (4; 46)$

Láthatjuk, hogy a (4; 46) vektort kaptuk, amely az ℝ² tér eleme. Ha más együtthatókat választanánk, más vektort kapnánk. A k₁ = 0, k₂ = −1 esetben:

$0 \cdot (2; 3) - 1 \cdot (0; 8) = (0; 0) + (0; - 8) = (0; - 8)$

Lineárisan összefüggő vektorok

A lineáris kombinációkhoz kapcsolódnak a lineárisan összefüggő és a lineárisan független vektorok. Egy példán mutatjuk meg: legyen adott az ℝ² vektortér és ebből a Q vektorhalmaz:

$Q = {(1; 1), (2; 4), (3; 5), (10; 18)}$

Az érdekel minket, hogy ki tudjuk-e fejezni e négy vektor valamelyikét a másik három lineáris kombinációjaként. Ha megnézzük a vektorokat, láthatjuk, hogy a (3; 5) vektor egyszerűen az első két vektor összege.

$(1; 1) + (2; 4) = (3; 5)$

A (3; 5) vektor tehát az (1; 1) és a (2; 4) vektor lineáris kombinációja. A móka kedvéért ezt a vektort elhagyjuk a Q halmazból. Új halmazt kapunk, a Q₁-et, amely így néz ki:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

Találunk-e itt még olyan vektort, amely a többi lineáris kombinációja? Igen, a (10; 18) vektor az első két vektor lineáris kombinációja a k₁ = 2, k₂ = 4 együtthatókkal:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) = (2; 2) + (8; 16) = (10; 18)$

Ezt a vektort is elhagyjuk, így kapjuk:

$Q_{2} = {(1; 1), (2; 4)}$

Újra megkérdezzük – megkaphatjuk-e az egyik vektort a másik kombinációjaként? Nem, az (1; 1) vektornak egyetlen többszöröse sem lesz egyenlő a (2; 4) vektorral.

Olyan vektorhalmazhoz jutottunk, amelyben egyik vektort sem tudjuk kifejezni a többi vektor lineáris kombinációjaként. Az ilyen halmazt lineárisan független vektorhalmaznak nevezzük. Ha az egyik vektor kifejezhető a többiek kombinációjaként, akkor lineárisan összefüggő vektorról beszélünk. Ha nem fejezhető ki, akkor lineárisan független vektorról beszélünk.

A nullvektor

A nullvektor 0 fontos szerepet játszik a lineáris összefüggőségben. Térjünk vissza a Q₁ vektorhalmazhoz és az ℝ² térhez. A Q₁ halmaz így néz ki:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

és már tudjuk, hogy a (10; 18) vektor összefüggő, mert 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) = (10; 18). Mi történne tehát, ha a 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) kifejezésből kivonnánk a (10; 18) vektort? Vagyis ha hozzáadnánk a −1-szeresét? Így nézne ki:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18)$

Ez a kifejezés biztosan a nullvektorral lenne egyenlő:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18) = (0; 0)$

Ebből egy érdekes tulajdonságot olvashatunk ki. Ha az x₁, x₂, …, x_n vektorhalmaz lineárisan összefüggő, akkor léteznek olyan a₁, a₂, …, a_n valós együtthatók, hogy

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Ezek között legalább az egyik a_i együtthatónak nullától különbözőnek kell lennie. Ha az összes együttható helyére nullát írnánk, mindig igaz egyenletet kapnánk, és így azt kapnánk, hogy minden vektorhalmaz lineárisan összefüggő, ami nyilván képtelenség. Az előző egyenlet indoklása egyszerű. Ha például az x₁ vektor lineárisan összefüggő, az azt jelenti, hogy

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Ehhez az egyenlethez elég hozzáadni a −x₁ vektort, és megkapjuk:

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Hogyan döntsük el, hogy a vektorok összefüggők-e

Ha adottak az x₁, x₂, …, x_n vektorok, és el akarjuk dönteni, hogy lineárisan összefüggők vagy függetlenek, elég megoldani az említett egyenletet

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

vagyis megkeresni az a_i együtthatókat. Ha az ℝ³ térben mozgunk, lehetnek például ezek a vektorok: (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5). Mivel azt akarjuk megtudni, hogy összefüggők-e, ezt az egyenletet oldjuk meg:

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Ezt az egyenletet a vektorok összeadásának és szorzásának definíciója szerint egyszerűen kifejtjük. Igaz, hogy a₁ · (1; 2; 3) = (a₁; 2a₁; 3a₁) és így tovább. Kifejtve:

$(a_{1}; 2 a_{1}; 3 a_{1}) + (2 a_{2}; a_{2}; 7 a_{2}) + (a_{3}; - 4 a_{3}; 5 a_{3}) = (0; 0; 0)$

Most az összeadást fejtjük ki. Mindig az azonos koordinátákat adjuk össze, tehát összeadjuk az első vektor első komponensét (a₁), a második vektor első komponensét (2a₂) és a harmadik vektor első komponensét (a₃), és ennek az egésznek egyenlőnek kell lennie a nullvektor első komponensével, vagyis nullával. A második és a harmadik komponensre ugyanígy. Így kapjuk a lineáris egyenletrendszert:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Ezt az egyenletrendszert felírhatjuk a szokásos mátrixba:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Figyeld meg, hogy ennek a mátrixnak az oszlopaiban valójában az eredeti vektorok állnak. A mátrix első oszlopában az eredeti (1; 2; 3) vektor van, a harmadikban az (1; −4; 5) vektor és így tovább. Számoláskor tehát nem kell mindig elvégezned ezeket a bonyolult átalakításokat, a mátrixot úgy hozod létre, hogy az oszlopokba egymás után beírod azokat a vektorokat, amelyekről el kell döntened, hogy összefüggők-e, majd hozzáadsz egy csupa nulla oszlopot.

Az egyenletrendszert megoldhatjuk a Gauss-eliminációval. A mátrixot lépcsős alakra hozzuk. Először a második sorhoz hozzáadjuk az első sor −2-szeresét, a harmadik sorhoz pedig az első sor −3-szorosát:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Most a második sorhoz hozzáadhatjuk a harmadik sor 3-szorosát:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Tovább számolnunk sem kell, sikerült kinullázni az egyik sort, ami azt jelzi, hogy a vektorok lineárisan összefüggők. Az egyenletrendszert azonban végigszámolhatjuk. Vezessük be az a₃ = t paramétert. Ekkor az

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

egyenletből, ami a mátrix utolsó sora, az a₃ = t behelyettesítésével a következő egyenletet kapjuk:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Most ezeket az értékeket behelyettesítjük az első egyenletbe, vagyis a mátrix első sorába:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Tehát a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Ha a t helyére például a t = 3 értéket írjuk, egy konkrét megoldást kapunk: a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Ezeket az együtthatókat behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

és azt kapjuk:

$9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Átalakítjuk a bal oldalt:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) & = & (0; 0; 0) \\ (9; 18; 27) + (- 12; - 6; - 42) + (3; - 12; 15) & = & (0; 0; 0) \\ (9 - 12 + 3; 18 - 6 - 12; 27 - 42 + 15) & = & (0; 0; 0) \\ (0; 0; 0) & = & (0; 0; 0) \end{array}$

Látjuk, hogy ha együtthatóknak például az a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 értékeket választjuk, az (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5) vektorokból a nullvektort kapjuk. Ha az egyenletrendszernek csak egyetlen megoldása, a csupa nulla megoldás lenne, akkor a vektorok lineárisan függetlenek lennének.

Fejezetek: Vektorterek, Vektorterek példái, Vektortér altere, Vektorok lineáris kombinációja, Lineáris burok, A vektortér bázisa, A vektortér dimenziója, Bázistranszformáció mátrixa

« Előző: Vektortér altere

Következő: Lineáris burok »