벡터의 연산

벡터에서도 덧셈이나 곱셈 같은 기본 연산을 할 수 있다.

벡터의 덧셈

두 벡터를 더하려면 두 벡터를 좌표계의 원점에서 시작하도록 그리고 평행사변형을 완성한다. 원점에서 시작하는 대각선이 두 벡터의 합이다. 물론 그림도 준비했다.

두 벡터의 합 u+v

성분으로 보면 벡터의 합은 대응하는 성분의 합이다. 그래서 두 벡터 $\vec{u} = (u_{1}, u_{2})$ 와 $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ 가 있으면 합 $\vec{u} + \vec{v}$ 는 다음과 같다.

$\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})$

그림의 벡터는 $\vec{u} = (2, 4)$ 와 $\vec{v} = (4, 1)$ 이다. 합은 $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4, 4 + 1) = (6, 5)$ 이다. 이 성분은 점 D의 좌표와 같다.

벡터의 뺄셈은 역벡터를 더하는 것과 같다. 성분으로 쓰면 다음과 같다.

$\vec{u} - \vec{v} = (u_{1} - v_{1}, u_{2} - v_{2})$

한 직선 위에 있고 방향이 같은 벡터를 더하면 합벡터가 길어지기만 한다. 방향이 반대이면 크기를 뺀다. 그림으로 보면 더 잘 알 수 있다.

한 직선 위에 있는 벡터의 합

벡터의 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다. 영벡터라고 하는 벡터 $\vec{0}$ 이 있어서, 수와 마찬가지로 $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ 가 성립한다. 모든 벡터 $\vec{u}$ 에는 역벡터 $- \vec{u}$ 가 있어서 $\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$ 이 성립한다.

벡터의 실수배

벡터에 실수 k를 곱하려면 두 성분에 모두 k를 곱하기만 하면 된다. 그림으로 보면 벡터가 “늘어나거나” “줄어들고”, k가 음수이면 방향이 반대가 된다.

벡터 u의 여러 가지 실수배

그림에서 알 수 있듯이 벡터 $\vec{u}$ 에 수 k를 곱하면 다음과 같다.

k의 절댓값이 1보다 작으면 벡터가 작아진다.
k의 절댓값이 1보다 크면 벡터가 커진다.
k가 음수이면 벡터의 방향이 반대가 된다.

벡터의 일차결합

선형대수에서는 벡터의 일차결합을 자주 쓴다. 벡터 ${\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}, \dots$ 가 있을 때, 이 벡터들의 일차결합은 다음과 같다.

벡터 ${\vec{u}}_{n}$ 가운데 하나의 k배,
임의의 두 개 이상의 벡터의 합,
이 둘을 섞은 것. 즉 임의의 벡터 ${\vec{u}}_{n}$ 의 k_n배를 더한 것.

벡터 ${\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, \dots, {\vec{u}}_{n}$ 이 있을 때, 다음이 성립하면 벡터 $\vec{v}$ 는 벡터 ${\vec{u}}_{n}$ 의 일차결합이다.

$\vec{v} = c_{1} \cdot {\vec{u}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{u}}_{2} + \dots + c_{n} \cdot {\vec{u}}_{n}; c_{i} \in R$

계수 c_i는 실수이므로 0으로 정할 수도 있다는 것에 주목하자. 그러면 그 벡터는 완전히 빠진다. 예를 들어 벡터 ${\vec{u}}_{1} = (1, 3), {\vec{u}}_{2} = (0, 4), {\vec{u}}_{3} = (7, 2)$ 가 있다. 다음은 가능한 일차결합의 몇 가지 예이다.

$\begin{array}{rcl} (8, 9) & = & 1 \cdot (1, 3) + 1 \cdot (0, 4) + 1 \cdot (7, 2) \\ (22, 17) & = & 1 \cdot (1, 3) + 2 (0, 4) + 3 (7, 2) \\ (68, 38) & = & - 2 (1, 3) + 6 (0, 4) + 10 (7, 2) \\ (- \frac{1}{2}, - \frac{43}{2}) & = & - \frac{1}{2} (1, 3) - 5 (0, 4) + 0 (7, 2) \end{array}$

목차: 벡터, 벡터의 연산, 내적, 외적

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