Bài toán tìm quy luật dãy số

Bài toán tìm quy luật dãy số xuất hiện trong rất nhiều bài kiểm tra tư duy logic. Đề bài cho một dãy số, nhiệm vụ của bạn là điền vào cuối dãy số tiếp theo sao cho hợp logic. Bài này trình bày cách giải những bài toán như vậy.

Đề bài

Một đề bài điển hình về tìm quy luật dãy số có dạng:

$$2,4,6,8,10,?$$

Nhiệm vụ của bạn là tìm số có thể thay vào dấu chấm hỏi sao cho hợp lí nhất. Muốn vậy, bạn phải tìm ra một tính chất đặc trưng của các số đã cho và dùng nó để tính số còn thiếu. Ở đây, kết quả là số 12, vì mỗi số trong dãy luôn lớn hơn số đứng trước 2 đơn vị.

Lời giải không phải lúc nào cũng duy nhất. Có thể nói rằng ta được thay vào dấu chấm hỏi một số bất kì, miễn là giải thích được lựa chọn đó.

Cộng và nhân

Đơn giản nhất là các dãy số mà ta chỉ cộng thêm một số nào đó. Ví dụ:

$$3,10,17,24,?$$

Ở đây ta luôn cộng thêm 7, nên vào chỗ dấu chấm hỏi là 31. Ví dụ khác:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Ta luôn cộng thêm 3, số tiếp theo của dãy là 4. Ví dụ khác:

$$17,8,-1,-10,?$$

Ở dãy này, ta cộng thêm −9, tức là trừ đi 9. Số tiếp theo là −19. Ví dụ khác:

$$2,4,8,16,?$$

Ở đây không cộng mà nhân. Mỗi số luôn gấp đôi số đứng trước, nên kết quả là 32. Ví dụ khác:

$$27,9,3,1,?$$

Ngược lại, ở dãy này ta chia cho 3. Kết quả là $\frac{1}{3}$. Số cộng thêm cũng có thể thay đổi:

$$2,4,7,9,12,?$$

Ta lần lượt cộng xen kẽ +2 và +3. Tức là lấy 2 cộng +2, được 4. Sau đó cộng +3, được 7. Cứ thế tiếp tục. Lấy 12 cộng 2, ta được 14. Ví dụ khác:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Ở dãy này, số cộng thêm mỗi bước luôn lớn hơn số ở bước trước 1 đơn vị, bắt đầu từ +1. Tức là 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11, … Cuối cùng ta cộng 6, nên kết quả là 20 + 6 = 26. Ví dụ khác:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Ta nhân xen kẽ với 2 và với 3: 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12, … Cuối cùng ta nhân với 3, nên kết quả là 216.

Xen kẽ các phép toán và các dãy

Có thể kết hợp các dãy và các phép toán với nhau. Chẳng hạn, lần này dùng phép cộng, lần sau dùng phép nhân:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Ở đây, đầu tiên ta nhân với 4, bước tiếp theo cộng thêm 2. Tức là: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, … Cuối cùng ta cộng thêm 2, nên kết quả là 234. Một ví dụ tương tự:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Đầu tiên ta nhân với 3, sau đó trừ đi 4. Tức là: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15, … Cuối cùng ta nhân với 3, kết quả là 87.

Cũng có thể ghép hai dãy, mỗi dãy có tính chất đặc trưng riêng, thành một dãy. Ví dụ:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Ở các vị trí lẻ là dãy quen thuộc 2, 4, 8, 16, 32, mỗi số luôn gấp đôi số đứng trước; còn ở các vị trí chẵn là dãy 1, 6, 11, 16, ?. Đó là dãy mà ta luôn chỉ cộng thêm 5. Vậy kết quả là số 16 + 5 = 21. Thêm một ví dụ:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Trong dãy này có thể tìm ra hai dãy con. Ở các vị trí lẻ là 2, 3, 5, 8, 12, đây là dãy mà số cộng thêm mỗi bước luôn lớn hơn số ở bước trước 1 đơn vị. Còn ở các vị trí chẵn là: 7, 11, 15, 19, ?, tức là chỉ cộng thêm 4. Kết quả là 23.

Các dãy số kinh điển

Có một số dãy kinh điển đáng nhắc đến:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …: dãy bình phương các số nguyên dương. Viết cách khác: 1², 2², 3², 4², 5², … Nếu trong dãy bạn thấy vài số trong số này, nhất là những số lớn hơn, thì khả năng cao là bình phương đóng vai trò ở đây.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …: đây là dãy Fibonacci nổi tiếng. Mỗi số bằng tổng của hai số đứng trước nó. Tức là, tính từ cuối: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5, … Hai số đầu tiên, 0 và 1, được cho trước.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …: dãy các số nguyên tố. Chỉ cần lưu ý rằng số 1 không phải là số nguyên tố.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, …: dãy các giai thừa. Số ở vị trí thứ n bằng tích 1 · 2 · 3 · … · n. Chẳng hạn ở vị trí thứ tư là số 24, vì 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Các dạng dãy số khác

Ví dụ:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Lời giải: cộng số ở vị trí thứ nhất và thứ hai, ta được 20: 17 + 3 = 20. Tương tự với các cặp tiếp theo: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Vậy vào chỗ dấu chấm hỏi phải là số 1. Ví dụ khác:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Trong dãy này, ta chia các số thành từng bộ ba a, b, c, trong đó a + b = c. Tức là ?+7 = 12 và 4 + 5 = 9. Vậy vào chỗ dấu chấm hỏi là 5. Ví dụ khác:

$$2,4,10,28,?$$

Ở đây ta kết hợp hai phép toán: phép nhân và phép trừ. Số tiếp theo nhận được bằng cách lấy số đứng trước nhân với 3 rồi trừ đi 2. Ta có: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Số tiếp theo của dãy là 28 · 3 − 2 = 82.