Giai thừa

Giai thừa của số n bằng tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n. Giai thừa kí hiệu bằng dấu chấm than: n!. Riêng với số 0, ta quy ước: 0! = 1. Giai thừa được dùng chủ yếu trong tổ hợp, chẳng hạn để tính số hoán vị. Ví dụ, 5 giai thừa bằng 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Định nghĩa giai thừa

Có nhiều cách định nghĩa giai thừa. Cách đơn giản nhất có lẽ là:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{nếu n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{trường hợp còn lại}\end{array}$$

Cũng có thể định nghĩa bằng tích:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Hoặc bằng tích phân:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Tính toán với giai thừa

Giai thừa thường xuất hiện trong phân số. Khi đó ta dùng hệ thức n! = n · (n − 1)!. Hệ thức này suy ra ngay từ định nghĩa; ta minh hoạ bằng một ví dụ. Ta biết 4 giai thừa, 4!, bằng tích các số nguyên dương: 4 · 3 · 2 · 1. Mặt khác, tích 3 · 2 · 1 bằng 3 giai thừa: 3 · 2 · 1 = 3!. Do đó có thể viết 4 giai thừa thành 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Nhờ vậy, ta có thể rút gọn nhanh nhiều phân thức chứa giai thừa. Ví dụ mẫu: rút gọn biểu thức

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Ta rút gọn theo hệ thức vừa nêu. Ở tử số, ta tách giai thừa thành n · (n − 1)!, rồi (theo cùng hệ thức) tách tiếp thành n · (n − 1) · (n − 2)!. Bây giờ phân thức rút gọn được ngay:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Ví dụ khác:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Và ví dụ cuối cùng về giai thừa:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$