Rút một biến từ công thức

Bài này trình bày cách rút một biến cụ thể từ một hệ thức phức tạp hơn hoặc từ một phân thức. Kĩ thuật này đặc biệt hay dùng khi làm việc với các công thức có nhiều biến. Kết hợp thêm với các công thức khác, ta có thể làm được những điều tưởng như không thể, suy ra mọi thứ từ con số không.

Biểu thức bậc nhất đơn giản

Xét công thức: ax + b = c. Làm sao rút x từ công thức tưởng tượng này? Ta luôn bắt đầu bằng cách chuyển mọi số hạng chứa biến cần rút sang vế trái, phần còn lại sang vế phải. Về lí thuyết, để bên nào cũng được, nhưng theo thói quen, ta để ẩn cần rút ở vế trái. Trước hết, ta chuyển b sang vế phải, tức là cộng −b vào hai vế của phương trình:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Các số hạng chứa biến đã ở một vế, nhưng còn vướng a. Làm sao bỏ nó đi cho gọn? Phải làm gì với biểu thức ax để chỉ còn x? Đúng vậy, ta chia biểu thức đó, và do đó chia cả hai vế của phương trình, cho a, hay nhân với $\frac{1}{a}$. Ở đây a phải khác 0 (không thể chia cho 0). Làm như vậy, ta được:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Xong. Ví dụ khác:

$$2ax-3bx=10a$$

Lại phải rút x. Các số hạng chứa ẩn đã nằm ở vế trái, nên ta đỡ được một bước. Cái khó là có hai số hạng chứa ẩn. Ta giải quyết bằng cách đặt nhân tử chung. Đặt x làm nhân tử chung ở vế trái, ta được:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Ở ví dụ trước, khi có biểu thức ax và muốn chỉ còn x, ta nhân hai vế của phương trình với $\frac{1}{a}$. Bây giờ phương trình có biểu thức x(2a − 3b) và ta lại muốn tìm x. Ta làm tương tự: chia hai vế của phương trình cho biểu thức (2a − 3b). Đừng ngại, ta hoàn toàn có thể chia hai vế cho cả biểu thức trong ngoặc, miễn là 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Phân thức

Với biểu thức chứa phân thức, ta dùng đúng các phép biến đổi phương trình như trên, chỉ cần cẩn thận để không vô tình chia hoặc nhân với 0. Ví dụ:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Ta muốn rút x. Nhân hai vế của phương trình với x, nhưng phải thêm điều kiện x ≠ 0. Điều kiện này đằng nào cũng đúng, vì phương trình có phân thức $\frac{a}{x}$ với x ở mẫu, mà ta không thể chia cho 0. Ta được phương trình:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Tóm lại, khi rút ẩn, hãy dùng các phép biến đổi tương đương thông thường.