Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được tạo thành từ các số, trong đó mỗi số nằm dưới hai số khác thì bằng tổng của hai số đó. Ta hãy lập một tam giác Pascal như vậy, rồi xem nó có thể dùng vào những việc gì.

Cách lập tam giác Pascal

Dọc hai cạnh bên của tam giác, ta viết toàn số 1; phần bên trong tạm thời điền dấu chấm hỏi:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Bây giờ ta tính dấu chấm hỏi thứ nhất: cộng hai số phía trên nó, ta được 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Tương tự, ta tính các dấu chấm hỏi ở hàng tiếp theo. Trước hết ta được 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Rồi ta được 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi hàng mới cho ta thêm một phần của tam giác Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Dĩ nhiên tam giác Pascal là vô hạn, ta luôn có thể lập thêm hàng mới. Nhưng bao giờ cũng vậy: ở hai đầu là số 1, còn bên trong tam giác là các số bằng tổng của hai số phía trên nó. Chẳng hạn, số 15 ở hàng cuối là tổng của hai số 5 và 10 phía trên nó.

Tính chất cơ bản của tam giác Pascal

Tính chất cơ bản thứ nhất ta đã nói ở trên: dọc hai cạnh bên của tam giác luôn là số 1:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Trên “đường chéo thứ hai” luôn là tất cả các số nguyên dương:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Nhân tiện, bạn có để ý rằng tam giác Pascal đối xứng không? Đọc mỗi hàng từ trái sang phải hay từ phải sang trái, ta đều được cùng một dãy số.

Số tam giác

Trên đường chéo thứ ba là các số 1, 3, 6, 10, 15, …

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Các số này có gì thú vị? Chúng được gọi là các số tam giác. Giả sử bạn có một số hình tròn và muốn xếp chúng thành hình tam giác. Bạn cần bao nhiêu hình tròn? Hãy nhìn hình sau:

Ta thấy với tam giác có cạnh 1, ta cần đúng 1 hình tròn. Với cạnh dài 2, ta cần 3 hình tròn; với cạnh dài 3, ta cần 6 hình tròn; với cạnh dài 4, ta cần 10 hình tròn. Số hình tròn cần dùng luôn là một số tam giác, và số đó có trong tam giác Pascal.

Tổng các số trên một hàng

Điều gì xảy ra nếu ta cộng các số trên mỗi hàng của tam giác Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Ta thấy tổng các số trên mỗi hàng gấp đôi tổng các số trên hàng trước. Vậy mọi tổng đều bằng một luỹ thừa của 2. Nếu đánh số hàng trên cùng là hàng 0 thì có thể viết: tổng các số trên hàng thứ n của tam giác Pascal bằng 2ⁿ.

Số nguyên tố

Đánh số hàng trên cùng của tam giác là hàng 0. Khi đó, nếu chọn hàng thứ n với n là số nguyên tố thì mọi số trên hàng đó (trừ hai số 1 ở hai đầu) đều chia hết cho n.

Lấy ví dụ n = 5. Số 5 là số nguyên tố. Hàng thứ 5 có dạng:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Mỗi số được đánh dấu đều chia hết cho 5.

Nhị thức Newton

Chắc hẳn bạn đã biết các hằng đẳng thức tính (a + b)² hay (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Có thể nhận thấy các hệ số của từng số hạng trùng với các số trong tam giác Pascal. Chẳng hạn, xét biểu thức

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Trước hết, ta viết thêm hệ số 1 trước a³ và b³ cho rõ:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Lúc này ta thấy các hệ số nhân với từng số hạng giống hệt hàng thứ ba của tam giác Pascal (nếu tính hàng trên cùng là hàng 0):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Hiện tượng này được trình bày riêng trong bài về khai triển nhị thức Newton.