Kí hiệu toán học

Toán học đầy rẫy kí hiệu đủ loại, người bình thường rất dễ bị lạc giữa chúng. Bài này cố gắng điểm qua và giải thích ít nhất những kí hiệu cơ bản mà bạn sẽ gặp ở mọi bước khi học toán.

Danh sách kí hiệu

• +, −, · , /: các kí hiệu cơ bản cho các phép tính thông thường: phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia. Dấu nhân cũng hay được viết bằng dấu sao * hoặc dấu chấm thường “.”. Khó nói cách viết nào là đúng: các tiêu chuẩn, quy tắc trình bày và thói quen không thống nhất với nhau. Nếu phần mềm cho phép, người ta thường dùng dấu chấm giữa dòng: ·. Phép chia được viết bằng dấu gạch chéo nói trên, bằng dấu hai chấm : hoặc bằng dấu hai chấm có gạch ngang ở giữa: ÷. Có lẽ dấu gạch chéo được dùng nhiều nhất.

• (), [], {}: ba loại dấu ngoặc. Chúng có nhiều công dụng khác nhau. Dấu ngoặc tròn dùng để xác định thứ tự thực hiện phép tính và để nhóm các biểu thức. Chẳng hạn, nếu viết:

  $$1+2/3+4$$

  thì chưa chắc người đọc hiểu đúng ý bạn. Viết như vậy có nghĩa là 1 cộng hai phần ba, cộng 4. Nếu muốn có một phân số lớn, bạn dùng dấu ngoặc tròn:

  $$(1+2)/(3+4)$$

  Dấu ngoặc vuông được dùng chẳng hạn để viết đoạn: tập hợp các số thực từ 10 đến 12 (kể cả hai đầu mút) viết là [10; 12]. (Ở một số nước, chẳng hạn ở Séc, ngoặc vuông còn dùng để viết toạ độ điểm; sách giáo khoa Việt Nam viết toạ độ điểm trong ngoặc tròn.)

• x²: chỉ số trên dùng cho luỹ thừa. Biểu thức x² ở trên có thể viết thành x · x. Biểu thức ở chỉ số trên gọi là số mũ.

• $\sqrt{}$: kí hiệu căn bậc hai. Phép khai căn là phép toán ngược của phép nâng lên luỹ thừa. Với căn bậc hai, ta có:

  $$\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$$

• % là kí hiệu phần trăm, trong toán học cũng dùng để tính toán với phần trăm. Không có gì phức tạp hơn.

• |x|: hai vạch thẳng đứng kí hiệu giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối đổi số âm thành số dương. Chẳng hạn: |−5| = 5. Trong hình học, hai vạch thẳng đứng còn có thể kí hiệu khoảng cách giữa hai điểm. Với hai điểm A và B, khoảng cách giữa chúng kí hiệu là |AB| (sách giáo khoa Việt Nam thường viết gọn là AB).

• !: dấu chấm than kí hiệu giai thừa. Giai thừa cho kết quả là tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng số đã cho. Dấu chấm than được viết sau biểu thức cần tính giai thừa. Ví dụ: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

• π là một hằng số toán học tiêu biểu. π, đọc là “pi”, là số pi. Số pi được dùng nhiều nhất trong lượng giác và trong hình học, vì nhờ số pi mà ta tính được chẳng hạn chu vi và diện tích hình tròn. Kí hiệu π là một chữ cái Hy Lạp. Giá trị gần đúng của nó là 3,1415… Vì đây là số vô tỉ nên không thể viết hết các chữ số của nó.

• e là một hằng số toán học quan trọng khác, gọi là số e. Hằng số này gắn với tên Leonhard Euler, nhà toán học nổi tiếng người Thuỵ Sĩ. Số e được dùng nhiều nhất với lôgarit: lôgarit tự nhiên có cơ số chính là số e. Giống số pi, số e là số vô tỉ, cũng không thể viết hết các chữ số. Giá trị gần đúng của nó là 2,71…

• D và T kí hiệu tập xác định và tập giá trị của hàm số. Tập xác định là tập hợp các phần tử có thể chọn làm đối số của hàm số. Tập giá trị là tập hợp các giá trị mà hàm số có thể nhận.

• ${\mathrm{C}}_n^k$ là kí hiệu số tổ hợp chập k của n, giúp viết gọn các phép tính với tổ hợp.

• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ là các tập hợp số tiêu chuẩn trong toán học. Từ trái sang phải: tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực và tập số phức.

• ⊆ , ∈ , × là các kí hiệu dùng trong lí thuyết tập hợp. Từ trái sang phải: tập con, kí hiệu phần tử thuộc tập hợp, tích Descartes.

• f′ (nói đúng hơn là dấu phẩy trên) kí hiệu đạo hàm của hàm số f.

• ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ , ¬ là các kí hiệu dùng trong logic mệnh đề. Từ trái sang phải: phép hội, phép tuyển, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương và phép phủ định.

• $\sum _{i=1}^n{a}_i$ là kí hiệu tổng (sigma), biểu thị tổng các số hạng của một dãy số a_i. Kí hiệu này trông khá đáng sợ, nhưng thật ra không có gì phức tạp. Tổng bắt đầu với giá trị i = 1, lần lượt cộng các số hạng a_i của dãy và tăng giá trị của biến i thêm 1, cho đến khi i bằng chỉ số trên, tức là n. Như vậy, ta lần lượt cộng các số hạng của dãy số:

  $$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\dots +a_n$$

  Giả sử có dãy số a_i = i, tức là dãy 1, 2, 3, … Tổng của 5 số hạng đầu tiên của dãy được viết thế nào?

  $$\sum _{i=1}^5{a}_i=1+2+3+4+5=15$$

• $\prod _{i=1}^n{a}_i$ là kí hiệu tích (pi hoa), tương tự kí hiệu tổng ở trên, chỉ khác là phép toán bên trong không phải phép cộng mà là phép nhân. Kí hiệu tích cho kết quả là tích các số hạng đã cho của dãy (còn kí hiệu tổng cho kết quả là tổng). Vậy tích của 5 số hạng đầu tiên của dãy a_i = i ở trên là:

  $$\prod _{i=1}^5{a}_i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$