Số nguyên tố
Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó. Tính chất của số nguyên tố được dùng nhiều, chẳng hạn trong mật mã học.
Định nghĩa và ví dụ
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó; riêng số 1 không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố nhỏ nhất là 2: nó chỉ chia hết cho 1 và cho 2. Đây cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số nguyên tố khác đều là số lẻ, vì mọi số chẵn khác, ngoài 1 và chính nó, còn chia hết cho 2.
Dãy các số nguyên tố đầu tiên: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Số nguyên tố là chủ đề của định lí cơ bản của số học, định lí này khẳng định rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.
Kiểm tra một số có phải số nguyên tố
Tính chất của số nguyên tố
- Có vô số số nguyên tố. Phép chứng minh có trong bài về phương pháp chứng minh phản chứng.
- Với mọi số nguyên z>1, trong khoảng (z; 2z) luôn có ít nhất một số nguyên tố. Ví dụ: với z = 2 ta có khoảng (2; 4). Số nguyên duy nhất thuộc khoảng này là 3, và 3 là số nguyên tố. Với z = 5 ta được khoảng (5; 10), gồm các số 6, 7, 8, 9. Số 7 là số nguyên tố. Với z lớn hơn cũng tương tự.
- Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố nhỏ hơn 1 đơn vị so với một luỹ thừa nào đó của 2 với số mũ nguyên. Như vậy số nguyên tố Mersenne M có dạng M = 2z − 1, trong đó z là một số tự nhiên nào đó. Chẳng hạn số nguyên tố 3, vì 22 − 1 = 3. Hoặc số 7, vì 23 − 1 = 7.
- Các số nguyên tố lớn nhất được biết đến thường chính là số nguyên tố Mersenne. Chẳng hạn ngày 23 tháng 8 năm 2008, người ta tìm ra số nguyên tố Mersenne M43112609, trong đó chỉ số dưới cho biết số mũ z. Đó là số nguyên tố 243112609 − 1, có 12.978.189 chữ số, và vào thời điểm đó là số nguyên tố lớn nhất được biết đến.
Dãy số không chứa số nguyên tố
Có thể tìm được một dãy hữu hạn các số tự nhiên liên tiếp dài tuỳ ý mà trong đó không có số nguyên tố nào. Dãy như vậy có thể có dạng k!+2, k!+3, …, k!+k và gồm k − 1 hợp số liên tiếp (dấu chấm than là giai thừa).
Chẳng hạn với k = 6 ta được 5 hợp số liên tiếp: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Các số này lần lượt chia hết cho 2, 3, 4, 5 và 6, vì số 6! = 720 chắc chắn chia hết cho tất cả các số đó, do nó chính là tích của chúng: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Nếu số 720 chia hết cho 3 thì số 720 + 3 cũng phải chia hết cho 3. Với các số còn lại cũng tương tự.
Định lí Fermat nhỏ
Với mọi số nguyên tố p và mọi số nguyên z, số zp − z chia hết cho p.
Ví dụ: lấy số nguyên tố p = 3 và số nguyên z = 4. Tính giá trị của 43 − 4, ta được 60. Mà 60/3 = 20, tức là 60 chia hết cho 3, đúng như định lí Fermat. Một ví dụ khác: p = 7, z = 10. Tính kết quả trung gian 107 − 10 = 9999990 rồi chia số này cho 7: 9999990/7 = 1428570. Lại được phép chia hết.
Các câu hỏi chưa có lời giải
Có nhiều giả thuyết nổi tiếng về số nguyên tố mà đến nay (2011) vẫn chưa ai chứng minh hay bác bỏ được. Hai giả thuyết nổi tiếng nhất là:
- Có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi: cặp số nguyên tố sinh đôi là cặp số (z; z + 2) mà cả hai số đều là số nguyên tố. Chẳng hạn (3; 5) hoặc (29; 31). Câu hỏi đặt ra là có vô số cặp như vậy hay không. Người ta cho rằng có, nhưng chưa có chứng minh.
- Giả thuyết Riemann: Mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann đều có phần thực bằng