역행렬

역행렬은 정칙인 정사각행렬에 대해 정의되는 행렬이다. 행렬과 그 역행렬을 곱하면 단위행렬을 얻는다.

정의

역행렬은 정사각행렬에 대해서만 구할 수 있고, 직사각행렬에는 정의되지 않는다. 또 행렬 A의 역행렬(A⁻¹로 나타낸다)은 행렬이 정칙일(일차종속인 행이 없을) 때에만 존재한다. 이때 역행렬은 하나로 정해진다. 역행렬의 두 가지 주요 성질은 다음과 같다.

$(A^{- 1})^{- 1} = A$

그리고 무엇보다 가장 중요한 성질은 다음과 같다(이것이 역행렬의 정의이기도 하다).

$A \cdot A^{- 1} = E$

E는 단위행렬이다.

역행렬을 구하는 방법

이제 역행렬을 구하는 방법을 보자. 가장 간단한 알고리즘은 가우스 소거법이다. 행렬 A를 단위행렬로 바꾸어 가는데, 행렬 옆에 단위행렬을 적어 두고 그 단위행렬에도 행렬 A와 똑같은 변형을 한다. 계산이 끝나면 왼쪽에는 단위행렬로 바뀐 행렬 A가, 오른쪽에는 역행렬이 있다. 간단한 예로 해 보자.

$(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$

얼핏 보아도 이 행렬은 정칙이므로 역행렬을 구할 만하다. 역행렬을 구할 때는 보통 다음과 같은 꼴로 쓴다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array})$

이제 왼쪽 행렬을 단위행렬로 바꾸고 오른쪽 행렬에도 똑같은 변형을 한다. 첫 번째 행의 −3배를 두 번째 행에 더한다. 먼저 왼쪽 행렬이다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 1 \end{array})$

이제 오른쪽 행렬의 첫 번째 행의 −3배를 오른쪽 행렬의 두 번째 행에 더한다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & 1 \end{array})$

이제 a₁₂ 자리에 0을 만들어야 한다. 첫 번째 행에 두 번째 행을 더하면 된다. 이번에는 두 변형을 한 번에 하자.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & - 2 & - 3 & 1 \end{array})$

이제 두 번째 행 전체를 −2로 나누어 −2를 없앤다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{array})$

구한 역행렬은 다음과 같다.

$(\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{array})$

구한 역행렬이 맞는지 확인하고 싶으면 원래 행렬과 곱해 보자.

$(\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$

WolframAlpha에서도 확인할 수 있다.

행렬식으로 구하기

역행렬은 행렬식으로도 구할 수 있다. 정칙행렬 A가 있으면 역행렬 A⁻¹의 성분 $a_{i j}^{- 1}$ 는 다음과 같다.

$a_{i j}^{- 1} = \frac{(- 1)^{i + j} \cdot | A_{j, i} |}{| A |}$

좌변에는 i,j가 있지만 분자에는 j,i가 있다는 점에 주의하자. 이렇게 뒤바뀐 것은 실수가 아니다. 분자에 있는 행렬 A_j,i는 행렬 A의 소행렬로, 행렬 A에서 j번째 행과 i번째 열을 지워서 얻는다. 예를 들어

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}),$

이면 다음이 성립한다.

$A_{1, 1} = (\begin{matrix} ⧸ 1 & ⧸ 2 & ⧸ 3 \\ ⧸ 4 & 5 & 6 \\ ⧸ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix}), A_{1, 3} = (\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix}), A_{2, 2} = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix})$

첨자가 뒤바뀐 것이 마음에 들지 않으면 이렇게 쓸 수도 있다.

$(a_{i j}^{- 1})^{T} = \frac{(- 1)^{i + j} \cdot | A_{i, j} |}{| A |}$

다시 말해 첨자를 바꾸지 않으면 역행렬의 전치행렬을 구하게 된다. 이 전치행렬을 다시 전치하면 역행렬을 얻는다.

이 방법으로 계산하면 보통 시간이 오래 걸린다. 절차가 아주 단순해서 주로 컴퓨터로 처리할 때 알맞다. 예제에서는 수 두 개만 구해 보자. 다음 행렬이 있다.

$A = (\begin{matrix} 3 & - 4 & 5 \\ 2 & - 3 & 1 \\ 3 & - 5 & - 1 \end{matrix})$

먼저 이 행렬 전체의 행렬식을 구한다. 이 값은 분수의 분모에 쓴다.

$d e t (A) = - 1$

이제 역행렬의 첫 번째 성분을 구한다. 이것을 $a_{11}^{- 1}$ 로 나타내자. 이 성분은 다음과 같다.

$a_{11}^{- 1} = \frac{(- 1)^{1 + 1} \cdot | A_{1, 1} |}{| A |}$

소행렬 A_1,1이 필요하다. 첫 번째 행과 첫 번째 열을 지우면 다음을 얻는다.

$A_{1, 1} = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ - 5 & - 1 \end{matrix})$

이제 이 행렬의 행렬식을 구해야 한다.

$d e t (A_{1, 1}) = 8$

이제 공식에 모두 대입할 수 있다.

$a_{11}^{- 1} = \frac{(- 1)^{2} \cdot 8}{- 1} = \frac{1 \cdot 8}{- 1} = - 8$

역행렬의 첫 번째 결과가 나왔다.

$A^{- 1} = (\begin{matrix} - 8 & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{matrix})$

두 번째 수는 다음과 같이 구한다.

$a_{12}^{- 1} = \frac{(- 1)^{1 + 2} \cdot | A_{2, 1} |}{| A |}$

소행렬의 행렬식은 다음과 같다.

$d e t (A_{2, 1}) = | \begin{matrix} - 4 & 5 \\ - 5 & - 1 \end{matrix} | = 29$

모두 대입하면 다음을 얻는다.

$a_{12}^{- 1} = \frac{(- 1)^{3} \cdot 29}{- 1} = \frac{- 1 \cdot 29}{- 1} = \frac{- 29}{- 1} = 29$

퍼즐 조각이 하나 더 맞춰졌다.

$A^{- 1} = (\begin{matrix} - 8 & 29 & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{matrix})$

나머지도 이렇게 계속 구한다.

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