✖

Обратна матрица

Обратната матрица е матрица, определена за квадратни неособени матрици. При произведението на матрица и нейната обратна матрица получаваме единичната матрица.

Определение

Обратна матрица може да се пресмята само за квадратна матрица, за правоъгълна матрица обратна матрица не е определена. Обратната матрица на матрицата A (означаваме я с A−1) съществува само ако матрицата е неособена (няма линейно зависими редове). Тогава тази матрица е определена еднозначно. Двете основни свойства на обратната матрица са:

(A−1)−1=A

И най-важното свойство на обратната матрица (което е и нейното определение):

A⋅A−1=E

E е единичната матрица.

Как се пресмята обратна матрица

А сега към метода за пресмятане на обратна матрица. Най-простият алгоритъм е методът на Гаус, който се състои в това, че преобразуваш матрицата A в единичен вид, до тази матрица записваш единичната матрица и върху нея извършваш същите преобразувания като върху матрицата A. В края на пресмятането имаш отляво матрицата A, преобразувана в единична матрица, а отдясно – обратната матрица. Нека го изпробваме на прост пример:

(1234)

С бегъл поглед установяваме, че матрицата е неособена, така че има смисъл да пресмятаме обратната матрица. Когато пресмятаме обратна матрица, обикновено го записваме във вида:

(12103401)

Сега лявата матрица преобразуваме в единична матрица и същите преобразувания ще извършваме върху дясната матрица. Прибавяме −3-кратното на първия ред към втория. Първо лявата матрица:

(12100−201)

Сега прибавяме −3-кратното на първия ред на дясната матрица към втория ред на дясната матрица:

(12100−2−31)

Сега трябва да получим нула на позиция a12. Достатъчно е към първия ред да прибавим втория ред. Сега ще извърша двете преобразувания наведнъж:

(10−210−2−31)

И сега се освобождаваме от минус двойката, като целия ред разделим на минус две:

(10−210132−12)

Получената обратна матрица е:

(−2132−12)

Ако искаш да провериш дали пресметнатата обратна матрица е вярна, умножи я по първоначалната матрица:

(−2132−12)⋅(1234)=(1001)

За проверка можеш да погледнеш в WolframAlpha.

Пресмятане с помощта на детерминанта

Обратната матрица можем да пресметнем и с помощта на детерминанта. Ако имаме неособена матрица A, обратната матрица A−1 има елементи aij−1, които са равни на:

aij−1=(−1)i+j⋅|Aj,i||A|

Отляво имаме i,j, но в числителя имаме j,i, обърни внимание, не е грешка, че е разменено така. В числителя имаме матрицата Aj,i, която е подматрица на матрицата A, получена, като от матрицата A премахнем j-тия ред и i-тия стълб. Така че ако

A=(123456789),

то е изпълнено:

A1,1=(⧸1⧸2⧸3⧸456⧸789)=(5689),A1,3=(4578),A2,2=(1379)

Ако не ти харесва, че индексите са обърнати, можем да го запишем и така:

(aij−1)T=(−1)i+j⋅|Ai,j||A|

Тоест ако не разменим индексите, ще пресметнем транспонираната обратна матрица. Ако транспонираме тази транспонирана матрица отново, получаваме обратната матрица.

Пресмятането по този метод обикновено е дълго, подходящо е най-вече за машинна обработка, защото е напълно пряк. В примера ще опитаме да пресметнем само две числа. Нека имаме тази матрица:

A=(3−452−313−5−1)

Първо пресмятаме детерминантата на цялата тази матрица, тя се използва в знаменателя на дробта:

det(A)=−1

Сега ще пресметнем първия елемент на обратната матрица. Означаваме го с a11−1. Той ще е равен на:

a11−1=(−1)1+1⋅|A1,1||A|

Ще ни трябва подматрицата A1,1. Като пропуснем първия ред и първия стълб, получаваме:

A1,1=(−31−5−1)

Сега трябва да пресметнем детерминантата на тази матрица:

det(A1,1)=8

И сега вече можем да заместим във формулата:

a11−1=(−1)2⋅8−1=1⋅8−1=−8

И имаме първия резултат за обратната матрица.

A−1=(−8????????)

Второто число получаваме така:

a12−1=(−1)1+2⋅|A2,1||A|

Детерминантата на подматрицата ще е равна на

det(A2,1)=|−45−5−1|=29

След заместване във формулата получаваме:

a12−1=(−1)3⋅29−1=−1⋅29−1=−29−1=29

Още едно парче от пъзела:

A−1=(−829???????)

И така нататък, и така нататък.