Редици

Редицата е функция, чието дефиниционно множество е множеството на естествените числа. Редицата може да бъде безкрайна, ако дефиниционното ѝ множество е цялото множество на естествените числа, или крайна, ако дефиниционното ѝ множество е само крайно подмножество на естествените числа. Когато не е казано изрично, че редицата е крайна, се предполага, че е безкрайна.

Определение на редица

Този раздел описва поне донякъде смисъла на определението за редица. Не е задължително да го знаеш и ако искаш, можеш да го прескочиш.

Във въведението вече споменахме, че това е функция с дефиниционно множество естествените числа. Множеството от стойности може да бъде произволно, но тук ще предполагаме множеството на реалните числа. Какво означава това? Най-видимата промяна е в графиката на функцията, защото тя не е непрекъсната линия, както е при обикновените функции, а се състои само от разпръснати, отделни изолирани точки на редицата.

Редица може да бъде например поредицата от числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Тя е доста ясно определена и всеки би трябвало да види как продължава. Тъй като това е функция, таблицата на съответствията на тази редица би изглеждала така:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Числата в първата колона (стойностите от дефиниционното множество) показват номера на съответното число в редицата. Например в нашата проста редица числото пет е на третото място, точно както казва и таблицата. На четвъртото място в редицата е числото седем, на първото е единицата и така нататък. От това следва също, че дефиниционното множество на крайна редица p трябва да бъде множество от вида

$$D(p)=\{1;2;3;\dots ;n\},$$

за да става дума наистина за номериране и да не е пропуснато никое място. Например множеството

$$D(p)=\{1;2;3;5;7\}$$

не е подходящо за дефиниционно множество на редица, защото му липсват четвъртият и шестият елемент.

Редицата се изразява с това, че членовете ѝ могат да се наредят по някакъв начин, т.е. че всеки член на редицата, освен първия и последния, има свой предшественик и свой следващ член. Това е огромна разлика в сравнение с реалните функции, където нещо такова не важи. Ако вземем функцията f(x) = 2x, коя стойност следва след f(5/2)? Не знаем, резултатът е реално число, а реалните числа нямат следващо число.

Записване на редица

Вече знаем, че – казано опростено – редицата е номерирана поредица от числа. Сега да видим как можем да записваме една редица. Самата редица обикновено означаваме с малка буква с долен индекс, например a_i.

Първият начин е изброяване на всички стойности на редицата. С това вече се запознахме в предишния раздел. Изброяването може да бъде крайно или безкрайно:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Забележка: не съм сигурен какви скоби се използват обичайно за редици, не намерих единна конвенция. Вероятно не бих използвал къдравите скоби, защото те означават множества, при които редът няма значение, докато при редиците редът на членовете е важен.

Втората възможност е формула за n-тия член на редицата. Например редицата a_n съдържаше всички четни числа. Можем да го изразим с формулата

$$a_n=2n.$$

Долният индекс n ни показва кой член на редицата пресмятаме. Ако искаме да знаем първия член, търсим члена a₁, ако искаме седмия, търсим a₇. Седмия член след това пресмятаме със заместване във формулата.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Този запис е удобен, защото позволява веднага да пресметнем който и да е член на редицата. Друга възможност е запис чрез рекурентно задаване. Рекурентното задаване ни позволява да пресметнем следващия член, когато знаем текущия. С други думи, ако знаем члена a_n, можем да пресметнем члена a_{n + 1}.

Когато искаме да зададем редица рекурентно, трябва да посочим две неща: кой е първият член и правило за пресмятане на (n + 1)-вия член. Ако искаме да зададем редицата на четните естествени числа рекурентно, можем да го направим така:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Как се пресмята сега? Знаем, че a₁ е равно на две. Заместваме n с единица и така получаваме a₂, като към a₁ прибавим две. Получаваме четири – второто четно число. И така нататък.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Рекурентното задаване е удобно, когато искаме да получим по-голяма част от редицата. Неудобно е обаче, когато искаме да пресметнем някой конкретен член, защото за да пресметнем стотното четно число, трябва първо да пресметнем всички 99 четни числа, които го предхождат.

Последната възможност е да зададем редицата чрез графика.

Още едно пояснение: редицата не е задължително да има просто правило, не е нужно да е „разумна“ поредица от числа. И тази поредица от числа е редица, макар на пръв поглед да няма никакъв по-дълбок смисъл:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Графика на редица

Редиците имат графики, различни от тези на обикновените реални функции. Тъй като дефиниционното им множество са естествените числа, графиката им се състои от изолирани точки.

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е проста редица, при която между съседните членове има постоянна разлика. Всеки следващ член е например с три по-голям или със седемнадесет по-малък. Разликата, с която се различават членовете на редицата, се нарича разлика на прогресията (означаваме я с d). В първия случай разликата е три, във втория минус седемнадесет, а при редицата на четните числа е две. С формула аритметичната прогресия може да се запише така:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Общата формула за n-тия член на аритметична прогресия е

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Нека за пример вземем отново четните числа, където разликата е две и първото четно число също е две. Тогава второто четно число получаваме, като към първото прибавим две. Ако прибавим още веднъж две, получаваме третото четно число.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Ако искаме да пресметнем например седмото четно число, заместваме в общата формула така:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Как да разберем дали дадена редица е аритметична прогресия? От формулата за n-тия член изваждаме формулата за (n + 1)-вия и ако получим разликата на прогресията, редицата е аритметична прогресия. Да вземем например редицата

$$a_n=2n+7.$$

Аритметична прогресия ли е тази редица? Започваме с израза за (n + 1)-вия член:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Сега изваждаме двата израза един от друг:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Виждаме, че след изваждането получихме d = 2, така че това е аритметична прогресия с разлика две.

Сбор на членовете на аритметична прогресия

Често ни трябва сборът на първите няколко члена на аритметична прогресия. Как да го направим? Интуитивно може би по следния начин. Ще се придържаме към четните числа. Колко е сборът на първите три четни числа? Т.е. на числата 2, 4 и 6. Можем, разбира се, да ги съберем последователно, но не искаме това – искаме формула.

Променяме редицата така: към първия член прибавяме две, а от последния изваждаме две. Получаваме 4, 4, 4. Виждаме, че имаме три еднакви числа, затова е достатъчно да умножим четири по броя на членовете, т.е. по три: 4 · 3 = 12.

При пет члена би изглеждало така: 2, 4, 6, 8, 10. Към крайните членове прибавяме и изваждаме четири, а към предкрайните две.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Отново е достатъчно да умножим 6 · 5 = 30. Какво виждаме? Винаги умножаваме броя на членовете на редицата по средния ѝ член. В редицата 2, 4, 6 по средата беше четири, а в редицата 2, 4, 6, 8, 10 по средата беше 6. Как да пресметнем в общия случай средния член (нека го означим с p)? Пресмятаме го като средно аритметично на първия и последния член на редицата, т.е.

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Например при втората редица

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Крайната формула за сбора на първите n члена на редицата a_n би изглеждала така:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Формулата важи и за четен брой членове, въпреки че при извеждането използвахме само нечетен брой.

Как да пресметнем разликата

Как да пресметнем разликата на прогресията, ако знаем два члена на редицата? Да останем при четните числа. Да кажем, че знаем следните два члена:

$$a_3=6,a_7=14.$$

Как да пресметнем разликата? Първо пресмятаме разликата между тези два члена:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Сега е достатъчно да разделим този резултат на броя на стъпките между двата члена, които знаем, т.е. на разликата на индексите им:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Разликата е две. Крайната формула за пресмятане на разликата d, когато знаем членовете a_k и a_l на редицата:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Графиката на аритметична прогресия показва постоянно нарастване или постоянно намаляване – изолираните точки в графиката лежат на една права.

Геометрична прогресия

Геометричната прогресия се различава от предишната, аритметичната, по това, че два съседни члена нямат една и съща разлика, а едно и също частно. Това частно не се нарича разлика, както при аритметичната прогресия, а частно на прогресията (означаваме го с q). Например можем да имаме редица, в която q = 10 и първият член е 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Най-общо важи формулата:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Формулата за общия член на геометрична прогресия би изглеждала така:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Например третия член на предишната редица бихме пресметнали така:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Геометричните прогресии можем да разделим още на две групи според частното им. Ако абсолютната стойност на частното е по-малка от едно, цялата редица се приближава към нула. Такава редица е сходяща. Ако пък абсолютната стойност на частното е поне едно, редицата не се приближава към нула. При частно едно редицата е постоянна, следователно също сходяща, а при частно минус едно или при абсолютна стойност на частното, по-голяма от едно, е разходяща. Само когато абсолютната стойност на частното е по-малка от едно, важи проста формула за сбора на целия ред (в останалите случаи редът няма краен сбор):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Формула за сбора на първите i члена на геометричната прогресия a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Извеждането на формулата можеш да прочетеш в Уикипедия.

Графиката на геометрична прогресия, освен когато частното е равно на едно или на нула, е множество от изолирани точки, които не лежат на една права. Типична графика на геометрична прогресия изглежда така:

Ако частното е отрицателно, графиката има два клона: