Въвеждащи примери за производни

В тази статия първо ще покажем няколко полезни формули за работа с производни, а след това ще опитаме да решим производни на някои функции – прости и сложни. Ако не търсиш решени примери, а ти трябва обяснение на определението за производна, премини към статията производна на функция.

Производна на полином

Първо ще споменем няколко формули, които ще ни трябват при диференцирането на функции от вида полином. Отляво е елементарната функция, която искаме да диференцираме, а отдясно е получената функция след диференцирането. За яснота: c е константа (още в първия ред това е константна функция) и диференцираме по x.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Няколко конкретни примера:

$f (x) = 5$

Това е константна функция, затова прилагаме първата формула и получаваме:

$f^{'} (x) = 0.$

Линейната функция f(x) = x има според втората формула производна

$f^{'} (x) = 1,$

няма какво повече да се проучва. Затова ще опитаме да диференцираме функцията

$f (x) = x^{5} .$

Прилагаме последната формула, където за c заместваме степенния показател, т.е. c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

Формулата работи и за отрицателен показател, така че ако искаме да диференцираме функцията

$f (x) = x^{- 7},$

получаваме:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

За по-нататъшни упражнения ще ни трябват формули за събиране и умножение на функции. А ако искаме от диференцираната функция да получим обратно първоначалната, използваме интегралите.

Производна на сбор

Ако искаме да пресметнем производната на функция, която е сбор от някакви изрази, просто пресмятаме производните на отделните събираеми и събираме междинните резултати. Записваме го така:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Прост пример, нека имаме функцията f(x) = x + 5. Производната на тази функция е:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

Разделихме функцията на две функции така:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

и само заместихме във формулата. Т.е. пресметнахме производните на функциите f₁ и f₂ и събрахме резултатите. По същия начин работи и за изваждане. По-сложен пример:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Отново диференцираме поотделно трите члена и ги събираме:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Производна на произведение

Произведението, уви, не се решава толкова просто, колкото обикновеното събиране, за произведение на две функции вече трябва да използваме малко по-сложна формула:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Тривиална функция, която съдържа умножение, е например функцията

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

Във формулата за умножение имаме две функции, от тази една функция s(x) ги получаваме така: f(x) = 5 и g(x) = x². Сега само заместваме:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

Виждаме, че ако имаме функция от вида

$f (x) = a \cdot x^{c},$

то след диференциране получаваме

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1} .$

Това правило можем да обобщим и вместо многочлен да заместим произволна функция. Така за всяка функция f(x) е изпълнено

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

За пример ще опитаме да диференцираме тази функция:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

В началото на диференцирането първо прилагаме правилото за сбор:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Произведенията преобразуваме по последната спомената формула:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Диференцираме изразите в скобите по правилото за производна на x^c.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

И накрая само умножаваме коефициентите:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Производна на частно

Производната на частно е отново малко по-сложна от производната на произведение. Формулата:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Иначе методът е аналогичен като при произведението. Затова веднага пример:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

Числителят на дробта е функцията f(x), знаменателят е функцията g(x). Сега само заместваме във формулата:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

В знаменателя имаме знаменателя на квадрат, а в числителя – израза, записан по формулата. Сега диференцираме първата и последната скоба. Там отново имаме правилото за сбор, ще го прескоча и ще напиша веднага резултата:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Този израз можем още да опростим, но това не е съществено в този раздел.

Производни на елементарни функции

Сега ще посочим, без допълнително извеждане, някои формули за пресмятане на производна на често срещани функции.

Степени и логаритми:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

Забележи, че производната на функцията e^x е отново e^x, това не е печатна грешка, а приятно свойство, което стана основа на много и много вицове.

Тригонометрични функции:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (tg x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (cotg x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Прост пример:

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

И двата израза са в сбор, така че е достатъчно да съберем производните на двата дадени израза. Всеки израз съдържа в началото константа, която умножава функцията след нея – знаем, че в този случай е достатъчно само да диференцираме функцията и да не променяме константата. Правим го:

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Това вече са таблични производни:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Производна на съставна функция

От свойствата на производната и от приложението ѝ при изследването на функции знаем, че при определени условия можем да имаме две функции, които са диференцируеми, и като ги съставим, отново получаваме функция, която е диференцируема. Ще покажем как да пресметнем производната на такава съставна функция.

Производната на съставна функция е може би най-трудното понятие от тези основни производни. Функциите могат да се съставят. Какво е съставна функция, можеш да прочетеш по-подробно в статиите Какво е функция или Дефиниционно множество на функция. Приблизително казано, това означава, че като аргумент на една функция подаваме друга функция. Символичният запис би изглеждал така: h(g(x)). Конкретна функция може да бъде например

$f (x) = \sin (2 x) .$

Кои са двете функции там? Синусът и след това вложената функция 2x. Върху тази функция f не можем просто да приложим общата формула за sin(x), защото тя разчита, че в аргумента ще получи x, а не 2x. Пресмятането на производната на съставна функция протича така:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Т.е. диференцираме външната функция, оставяме ѝ същия аргумент и умножаваме по производната на вътрешната функция. В случая с примера със синуса би било:

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

Щрихът само над синуса означава, че диференцираме единствено самия синус, не диференцираме целия израз, както в израза от лявата страна на равенството. Производната на синуса е косинус, така че на мястото на синуса просто пишем косинус. А производната на 2x е 2:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Още един пример, малко по-сложен.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Тук имаме с една вложена функция повече. Външната функция е косинус, средната е логаритъм, а най-вътрешната е степента x². Действаме отново по формулата. Записваме го подробно:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Диференцираме само косинуса, аргумента на косинуса оставяме какъвто е, т.е. оставяме там целия логаритъм. Целия този израз след това умножаваме по производната на аргумента, т.е. по производната на логаритъма. Диференцираме косинуса и имаме:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Изразът вдясно не се промени, само диференцирахме косинуса. Сега се залавяме с производната на логаритъма. Това отново е съставна функция, така че рекурсивно прилагаме формулата за съставна функция. Левия израз само преписваме:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

Диференцираме логаритъма и оставяме аргумента му същия, т.е. x². Но целия израз умножаваме още по производната на аргумента, т.е. по производната на x². Производната на логаритъма е дробта 1/x, където за x заместваме нашия аргумент x², а производната на x² е 2x.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

« Предишна: Производна на функция

Следваща: По-трудни примери за производни »