Производна на функция

Производната е основно понятие в диференциалното смятане, играе важна роля например при изследването на функции и от една страна е мразена от учениците, а от друга – производна може да пресметне и добре обучена маймуна. В тази статия ще бъдат описани и обяснени само определението за производна и свързаните с него понятия. Решени примери ще намериш в съседните статии: прости примери за производни и по-сложни примери. Обратният процес на диференцирането е интегрирането.

Какво е производна

Преди изобщо да стигнем до определението за производна, ще кажем какво пресмятаме с производната и за какво може да ни послужи.

С производната на функция получаваме ъгловия коефициент на допирателната. Това са доста сложни думи накуп, затова от самото начало. Казано просто, допирателната е права, която се допира до дадена графика точно в една точка. Това не е точно определение, него прочети например в Уикипедия, но приблизително е достатъчно. Сега разгледай следния чертеж:

Черната крива е графиката на функцията y = x². Синята права е допирателната към тази функция в точката D(1; 1), означена с червено. Със зелено е означен ъгълът α, който допирателната сключва с оста x – по-точно с положителната полуос x. Сега ще определим понятието ъглов коефициент на допирателната. На този чертеж ъгловият коефициент на допирателната е тангенсът на ъгъл алфа. Тангенсът е класическа тригонометрична функция, с която можем например да пресмятаме ъгли и дължини на страни в триъгълник. Така ъгловият коефициент на допирателната е тангенсът на ъгъла, който дадената допирателна сключва с положителната полуос x. И този ъглов коефициент получаваме с помощта на производните.

Освен това различаваме понятията производна на функция в точка и производна на функция. Производната на функция в точка е ъгловият коефициент на допирателната в дадената точка. А производната на функция е друга функция, която задава ъгловите коефициенти за общ аргумент x. Следва пример.

Мотивация

И така, с помощта на производната можем да пресмятаме ъглови коефициенти на допирателни. За какво може да ни послужи това? Разгледай следния чертеж:

На чертежа отново е функцията y = x² и четири означени допирателни. Две зелени и две сини. Забележи, че функцията y = x² в интервала (−∞; 0) е намаляваща, докато в интервала (0; +∞) е растяща. Какво обаче същевременно е изпълнено за техните допирателни, или по-точно за ъгъла, който сключват с положителната полуос? Сините допирателни, които минават през точки от интервала, в който функцията расте, сключват с оста ъгъл, по-малък от 90 градуса. Зелените допирателни пък сключват с оста ъгъл, по-голям от 90 градуса. Как се отразява това на ъгловите коефициенти на допирателните?

За това трябва да знаем поведението на функцията тангенс. От следната графика научаваме, че ако ъгълът е по-малък от 90 градуса, стойността на тангенса е положителна (частта, означена със синьо); обратно, ако ъгълът е по-голям от 90 градуса, но по-малък от 180 градуса (т.е. по-малък от Пи радиана), стойността на тангенса е отрицателна. Какъв извод можем да направим? Ако ъгловият коефициент (не забравяй, че ъгловият коефициент е тангенсът на ъгъла) на допирателната в дадената точка е положителен, функцията в дадената точка е растяща, а ако е отрицателен, е намаляваща.

Определение

Преди да стигнем до самото определение на производната, трябва да извървим дълъг път. За целта ще ни трябва границата на функция. Ако не владееш границите, върни се към тях или прескочи направо към формулите, останалото обяснение вероятно няма да е за теб.

Преди да преминем към ъгловия коефициент на самата допирателна, ще се спрем на ъгловия коефициент на секущата, което е по-лесно. Секущата е права, която пресича графиката в две точки. Сега ще опитаме да изведем как бихме пресметнали този ъглов коефициент. Погледни чертежа:

Там имаме графиката на функцията x² + 1 и секущата s, която пресича графиката в две точки (0,5; 1,25) и (2; 5). Тези точки са означени със синьо. Тъй като конкретните стойности не ни интересуват особено, в графиката те са означени общо като a и b и f(a) и f(b). При това f(a) е стойността на функцията f в точката x = a. Което е вярно: стойността на нашата функция x² + 1 в точката x = 2 е 2² + 1 = 5.

Сега трябва да изведем как да пресметнем ъгъла, означен като алфа, т.е. ъгъла, който секущата сключва с оста x. Първо ще променим малко чертежа, за да получим някакъв триъгълник, с него ще ни е по-лесно да работим.

Какво направихме? Свързахме с отсечка точките, в които секущата пресича графиката на функцията y = x² + 1, и ги допълнихме до правоъгълен триъгълник ABC. С какво ни помогна това? Ъгълът, означен като β, има същата големина като ъгъл α (те са съответни ъгли). При това знаем дължините на страните AB и BC. Изпълнено е |AB| = b − a (това е просто разстоянието на точката b от a). Подобно |BC| = f(b) − f(a). Как сега да пресметнем големината на ъгъл β, или по-точно α?

Трябва да знаем как се пресмята тангенс. Тангенсът е отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет, т.е. тангенсът на ъгъл алфа (бета) е равен на отношението на дължината на страната BC към дължината на страната AB. Записваме го:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Тъй като ъгловият коефициент е тангенсът на ъгъла, с тази формула пресметнахме ъгловия коефициент на секущата. Как обаче ни помага това, когато искаме да пресметнем ъгловия коефициент на допирателната? Представи си, че приближаваме точките A и C една към друга, докато се слеят. Приближаването е показано на чертежа:

Колкото повече приближаваме горната точка на пресичане към долната, толкова по-близо е секущата до това да стане допирателна. Първоначалната секуща/права CA беше далеч от допирателната. Когато приближим точката C към точката A, получаваме например секущата C₁A, която вече повече прилича на допирателна. Секущата C₂A е още по-подобна и т.н.

Кога секущата става допирателна? В момента, когато двете точки на пресичане се слеят в една, т.е. когато за някоя точка C_n е изпълнено C_n = A. Тогава от секуща имаме допирателна, което искахме. Въпросът е как да пресметнем ъгловия коефициент, защото не можем просто да извадим тези две точки, тъй като са еднакви:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Това не става, така не можем да пресметнем. Не напразно само приближавахме дадените точки една към друга. Ще ни трябва граница. Искаме сега да пресметнем ъгловия коефициент на допирателната в дадената точка (a; f(a)) и имаме на разположение ъгловите коефициенти на всички възможни секущи (вече умеем да ги пресмятаме). Затова постепенно ще пресмятаме ъгловите коефициенти на секущите, които ще приближаваме така, че да получим допирателна. Ще приближаваме b към a. Не можем да приближим точките така, че да са равни, но можем да ги приближим така, че разликата им да клони към нула. Ето я границата. Т.е. ще приближаваме b към a, докато станат равни в границата. Пресмятаме границата, когато b клони към a. Това е всичко, формулата изглежда така:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Тази граница наричаме производна на функцията f(x) в точката x = a. Напомням, че ъгълът α е равен на ъгъла β. Обикновено не използваме променливите a и b, а търсим производната в точката x₀ и към нея приближаваме точката x. Тогава можем да запишем:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Засега, подобно на непрекъснатостта на функция, имаме определена производна в една точка. Ако имаме функция f(x), която е диференцируема в отворен интервал I, то стойностите на тази производна определят функцията f′(x), която наричаме производна на функцията.

Производната записваме с щрих в горния индекс, например така:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Можеш да срещнеш и друга форма на записване, с dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Така във формулата, която използвахме преди малко, можем да заменим тангенса с означението за производна:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Можем да определим и едностранна производна отдясно или отляво с помощта на едностранни граници. С това сега няма да се занимаваме, не е чак толкова важно.

Малко по-различно определение

Друго определение на производна на функция в точка изглежда така:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Как стигаме до такова определение? Достатъчно е да променим малко чертежа, от който тръгнахме. Можем да изразим разстоянието между точката a и точката b като h = b − a. Така можем да запишем точката b като a + h, защото h е разстоянието на b от a. Чертежът би изглеждал така:

Долу имаме точките a и a + h, а върху оста y f(a) и f(a + h). Сега отново построяваме триъгълник и пресмятаме тангенса на ъгъл бета. Само че дължината на страната AB вече знаем, тя е h.

Крайна и безкрайна производна

И производните могат да са крайни и безкрайни, подобно на границите на функции. Какво означава това? Производната е крайна, ако стойността ѝ в точката е равна на някакво реално число. Производната е безкрайна, ако е равна на плюс или минус безкрайност. Как да си го представим геометрично? Кога ъгловият коефициент е „безкраен“? Започваме с по-лесен въпрос – как изглежда допирателна, чийто ъглов коефициент е равен на някакво голямо число? От графиката на тангенса (виж по-горе) се вижда, че ако стойността на тангенса е голяма, ъгълът се приближава към 90 градуса (ако се движим в интервала (0; 180)).

Може да се заключи, че ако функцията има в дадената точка безкрайна производна, допирателната ще сключва с оста x прав ъгъл, т.е. ще е перпендикулярна на нея. И наистина е така. Как би могла да изглежда графиката на такава функция и в коя точка допирателната би била перпендикулярна на оста x? Например функцията $y=\sqrt[3]{x}$:

Основни свойства

• За да има функцията производна в точка, тя трябва да е определена в някоя епсилон-околност на тази точка. Ако тази околност не съществува, не можем да пресметнем границите, чрез които се определя производната.

• От единствеността на границата следва, че ако в точка съществува производна, тя е единствена. Никоя функция няма в една точка няколко производни. Или една, или нито една.

• Подобно на едностранните граници, ако функцията има в точка производна, производните отляво и отдясно трябва да са равни.

• Понякога трябва да знаем т.нар. втора производна. Не е нищо сложно, просто диференцираме функцията веднъж и след това диференцираме резултата още веднъж. Означаваме го с два щриха: f''(x) = (f'(x))'.

• Важно свойство: ако функцията има в точка производна, то функцията е непрекъсната в тази точка. Следва отново от свойствата на границите. Внимавай, че обратното не е вярно. Ако функцията е непрекъсната в дадена точка, това не означава, че в нея е диференцируема. Типичен пример е функцията f(x) = |x|. Графиката е с остър връх, не може да се пресметне ъгловият коефициент на допирателната в този връх. Можеш да опиташ да пресметнеш производната отляво и отдясно, ще са различни.

  

• С помощта на производните могат да се пресмятат и някои граници, за това служи правилото на Лопитал.

Връзки

В съседната статия ще намериш списък с формули за работа с производни. Още формули ще намериш в Уикипедия.

Можеш да разгледаш и решени примери за производни и след това по-трудни примери за производни.

Ако искаш бързо да провериш пресмятането на производна, можеш да използваш някой математически инструмент, например Wolfram|Alpha. Достатъчно е да напишеш в полето за въвеждане там „derive x^2+6x“ (например) и Wolfram ще пресметне производната на зададената функция.