Интеграл

Процесът на интегриране на функция е обратен на процеса на диференциране на функция.

Примитивна функция

Започваме с лесна задача. Нека имаме функцията f(x) = 2x. Да намерим такава функция F, която след диференциране е равна на функцията f. Формално записано, търсим функция F, за която е изпълнено F′ = f.

От основните формули за пресмятане на производни знаем, че това е функцията F(x) = x². Производната на функцията x² е 2x. Въпросът е дали тази функция е единствената, която удовлетворява условието.

Отговорът е, че не е – ако към функцията x² прибавим която и да е реална константа, след диференциране отново получаваме функцията 2x, защото производната на константа е нула. Всяка функция от вида x² + c, където c е реална константа, може да се счита за търсената от нас функция F.

Тази задача можем да обобщим. Нека е дадена реална функция f. Търсим такава функция F, за която F′(x) = f(x) за всяко x от D(f), или от някакъв интервал от дефиниционното множество. Тази функция може да не е определена еднозначно, а от друга страна такава функция може и изобщо да не съществува.

Тази функция F наричаме примитивна функция на функцията f. Записваме:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Функцията f се нарича подинтегрална функция, а процесът на търсене на примитивна функция се нарича интегриране. Изразът dx показва по коя променлива интегрираме. Ако запишем пример така

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

искаме да намерим примитивната функция на функцията 4x³, като интегрираме по променливата x. Резултатът може да е функцията x⁴, която след диференциране е равна на 4x³. Разбира се, към тази функция можем да прибавим произволна реална константа.

Може да се докаже, че примитивната функция или не съществува, или винаги е от вида F(x) + c, където c е някаква реална константа – и тогава те са безкрайно много, защото имаме безкрайно много реални константи. Ако намерим функцията F(x), можем да получим всички примитивни функции. Същевременно никоя друга функция, която не получаваме по този начин, не е примитивна на търсената от нас функция.

Още няколко думи за израза dx. Изглежда много мистично, но всъщност само показва по коя променлива интегрираме. Ако например имаме интеграла

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

това означава, че интегрираме по променливата b, а останалите букви a и c се държат като константи. Т.е. държат се така, като че ли там има числа.

Интегриране на елементарни функции

Можем лесно да изведем формули за пресмятане на примитивни функции на някои елементарни функции. В целия раздел предполагаме, че c ∈ ℝ.

Започваме с функцията f(x) = 0, нулевата функция. Коя функция след диференциране е равна на нула? Всяка функция, която съдържа само константа:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

След това функцията f(x) = 1. Изпълнено е x′ = 1, така че интегралът от едно е равен на

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Следващата по ред е функцията f(x) = x. Коя функция трябва да диференцираме, за да получим като резултат x? Ако диференцираме x², получаваме 2x. Почти стигнахме там, където искахме. Достатъчно е да разделим на две. Ако диференцираме (x²)/2, получаваме x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Ако обобщим това за функцията xⁿ, където n ∈ ℝ, получаваме формулата:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Забележи, че тази формула не е вярна за n = −1, защото бихме делили на нула, а на нула не се дели. Затова при n = −1 получаваме функцията f(x) = x⁻¹, която е функцията 1/x. Коя функция трябва да диференцираме, за да получим 1/x? Това е логаритъмът.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Проблемът е, че логаритъмът е определен само за положителни реални числа, така че тази формула не е вярна за всяко x от D(f). Вярна е обаче за интервала (0; +∞). За интервала (−∞; 0) само сменяме знака на аргумента на логаритъма: ln(−x). Когато ги обединим, можем да запишем

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Тази формула е вярна за всяко x ∈ D(f). Други интеграли, например за тригонометрични функции, ще намериш в следната таблица:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{за }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Интеграл на сбор

Пресмятането на производната на някоя функция обикновено е сравнително просто и – както се казва – може да го направи и обучена маймуна, защото обикновено се действа направо по формулите. При интегралите обаче положението е друго. Методите за пресмятане на интеграли са сравнително по-сложни, поради което задачата за намиране на интеграл е много по-сложна от пресмятането на производна. Това се дължи главно на това, че имаме удобна формула за интеграл на сбор, но не и за произведение.

Нека опитаме да пресметнем този интеграл:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Как бихме могли да го пресметнем? Трябва ни функция, която след диференциране дава x, и после друга функция, която дава 1. От формулите вече знаем, че това са функциите (x²)/2 и x. Ако съберем тези функции, получаваме f(x) = (x²)/2 + x. След диференциране на тази функция получаваме x + 1. Така получихме резултата:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

По време на пресмятането използвахме едно свойство – интегралът на сбор е равен на сбора на интегралите. С други думи

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Това важи и за изваждане:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Затова можехме да запишем предишния пример така:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Изнасяне на константа пред интеграла

Подобно твърдение важи и за изнасянето на константа пред интеграла. Ако имаме интеграл от вида:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

където a е някаква реална константа, можем да изнесем тази константа пред интеграла:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Пример

Пресметни интеграла:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

В първата стъпка го разделяме на три интеграла:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Интегралите ще решаваме последователно. Първия интеграл можем да решим директно по формулата за степени xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Във втория интеграл първо изнасяме 6:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Интегралът от x вече е отново табличен интеграл, равен е на (x²)/2. Затова получаваме:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

В последния интеграл също първо изнасяме 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

А това вече е отново табличен интеграл:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Събираме частичните интеграли и получаваме резултата:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Още една забележка – във всеки частичен интеграл получихме константа c, така че при събирането би трябвало да запишем в резултата +3c вместо +c. Но c е произволна реална константа, така че 3c отново е някакво реално число. Бихме могли да заменим c в частичните интеграли с c₁, c₂, c₃ и след това да кажем, че c = c₁ + c₂ + c₃.