Hvor kommer Eulers tal fra

Eulers tal er en af de mest kendte matematiske konstanter sammen med for eksempel tallet pi — π. Vi fortæller, hvordan vi kom frem til dette tal, og hvad det betyder.

I det syttende århundrede interesserede den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli sig for rentes rente. Forestil dig, at vi har en krone, som vi sætter ind i en bank, der tilbyder os 100 % i årlig rente. Det er rent vanvid fra bankens side, men hvad gør man ikke for matematikkens skyld. Hvor mange penge har vi præcis efter et år? Vi har to kroner.

Hvordan ville situationen ændre sig, hvis banken tilbød os 50 % i rente, som blev tilskrevet hvert halve år? Ville det være mere fordelagtigt for os eller mindre?

Efter det første halve år ville vi have halvdelen mere. »Halvdelen mere« skriver vi i matematik som $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. For x indsætter vi vores indskud, altså en krone, og beregner

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Efter et halvt år har vi 1,5 kr. på kontoen. Efter det andet halve år ville vi igen have halvdelen mere. Vi bruger den samme formel, vi indsætter bare vores nye saldo for x, dvs. 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Efter et år har vi således 2,25 kr. på kontoen. Hyppigere forrentning med en lavere rente er altså en fordel for os.

Forrentning hver måned

Hvad hvis banken tilbød os forrentning hver måned, men renten faldt til en tolvtedel af den oprindelige rente? Uf, så skal vi regne en del. Hvilken saldo har vi efter den første måned? Vi har »en tolvtedel mere«, hvilket vi skriver som $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Efter den første måned har vi således:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Efter den anden måned har vi

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Læg dog mærke til, at i stedet for tallet 1,0833333 kan vi bruge skrivemåden $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, for vi ved, at disse tal er lig med hinanden:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Efter den tredje måned har vi på kontoen:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Som du ser, følger vores beregning et bestemt mønster. Udtrykket i parentesen gentages lige så mange gange, som den måned, vi er ved at beregne, har nummer. Det foregående udtryk kan vi forenkle, så vi i stedet for tre ens parenteser skriver én og opløfter den i tredje potens:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Og multiplikationen med én i begyndelsen er også overflødig, så den fjerner vi:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Hvis vi nu vil beregne saldoen efter tolv måneder, bruger vi bare tallet 12 i eksponenten i stedet for tre:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Efter tolv måneder har vi cirka 2,6130352 kr. på kontoen. Det er ikke dårligt! Og det er meget bedre, end da vi havde 100 % i rente om året.

Kontinuert rente

Vi behøver ikke stoppe ved månederne. Hvor meget ville vi have, hvis vi forrentede hver uge med en rente på $\frac{1}{52}$ af den oprindelige rente? Da vi allerede kender formlen, indsætter vi bare:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Daglig rente?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Rente hver time? (Et år har 8760 timer)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vi ser, at hver gang vi tager en lavere rente og forrenter oftere med den, har vi til sidst lidt flere penge på kontoen. Men tilvæksten er ikke længere så stor. Sådan kunne vi fortsætte i det uendelige. Ja, det er faktisk ikke nogen dårlig idé — vi kunne forrente hvert minut, hvert sekund, hvert millisekund, hvert nanosekund… indtil vi nåede dertil, at vi forrenter hele tiden. Så ville vi have en kontinuert, lillebitte rente, som vi forrenter saldoen med i hvert øjeblik. Hvor mange penge ville vi i så fald have på kontoen efter et år?

Tilbage til Eulers tal

Og det er det spørgsmål, som Jacob Bernoulli forsøgte at beregne. Uheldigvis for ham lykkedes det ikke, og det var først i det 18. århundrede, at den berømte matematiker Leonhard Euler gjorde det. Han beregnede, at vi efter et år ville have på kontoen

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

kroner. Du kan se, at det ikke er meget mere, end da vi tilskrev renten hver time. Og da det viste sig, at denne saldo, dette tal, er meget vigtigt i forskellige dele af matematikken, hedder det den dag i dag Eulers tal, og vi betegner det med bogstavet e. Eulers tal er et irrationalt tal, altså et tal med en uendelig, ikke-periodisk decimalfremstilling. På samme måde som for eksempel tallet π. Du vil derfor aldrig se det i sin helhed. Alligevel kan vi definere Eulers tal præcist ved hjælp af en grænseværdi af en funktion:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Kilder og links

• Et perfekt afsnit af den engelske kanal Numberphile om Eulers tal.
• Sådan beregner du renten på et boliglån