Kommutativitet

Kommutativitet er en egenskab ved regneoperationer som for eksempel addition. Vi kan bemærke, at rækkefølgen er ligegyldig ved addition, så 3 + 5 er det samme som 5 + 3. Uanset hvilke to reelle tal a + b vi lægger sammen, bliver resultatet det samme, også selv om vi bytter om på leddene: b + a. Hvis en operation opfylder denne betingelse, siger vi om den, at den er kommutativ.

Et eksempel på en anden operation, der er kommutativ, er multiplikation, for 2 · 6 har samme resultat som 6 · 2, og det samme gælder for to vilkårlige tal a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Et eksempel på en operation, der ikke er kommutativ, er subtraktion, for 7 − 4 er noget andet end 4 − 7. I det første tilfælde får vi resultatet 3, i det andet får vi −3. Et andet eksempel er division, for 2 / 5 er noget andet end 5 / 2.

Men pas på de andre egenskaber ved operationer, for eksempel regnearternes hierarki. Hvis vi har udtrykket 1 + 2 · 3, kan vi ikke sige, at det er det samme som 2 + 1 · 3. Multiplikation har nemlig forrang for addition. Vi kan bruge parenteser som hjælp: Udtrykket 1 + 2 · 3 er det samme som 1 + (2 · 3). Hvis vi vil bruge den kommutative lov for addition, kan vi det, men vi må tage hele parentesen med: 1 + (2 · 3) er lig med (2 · 3) + 1, og det er lig med (3 · 2) + 1, hvis vi også bruger kommutativiteten af multiplikation.

Mængdeoperationer og kommutativitet

Det er ikke kun operationer med tal, der kan være kommutative, det kan for eksempel også operationer med mængder. For eksempel er fællesmængden af mængderne A og B en kommutativ operation. Fællesmængden af to mængder er »de elementer, der findes i begge mængder«, altså

$$A\cap B=B\cap A$$

Helt det samme gælder for foreningsmængden af mængderne A og B, hvor resultatet er »de elementer, der findes i mindst én af mængderne«, og dermed:

$$A\cup B=B\cup A$$

Mængdedifferensen er for eksempel ikke kommutativ.

Vektorer

En af de andre kommutative operationer finder vi blandt regneoperationerne med vektorer, nemlig addition af vektorer — generelt er addition oftest en kommutativ operation. Hvis vi i dette tilfælde har to vektorer $\overrightarrow{u}$ og $\overrightarrow{v}$, gælder det, at

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Den følgende figur viser det grafisk:

Summen $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ er vist ved »den øverste vej«, hvor vi først går langs den røde vektor $\overrightarrow{u}$ og først derefter langs den blå vektor $\overrightarrow{v}$. Summen $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ er vist ved »den nederste vej«, hvor vi først går langs den blå vektor $\overrightarrow{v}$ og derefter langs den røde vektor $\overrightarrow{u}$. Resultatet er dog det samme, vektorerne ender i samme punkt.

Du kan forestille dig det, som om du gik ud fra et sted og gik halvtreds meter mod nord og derefter tyve meter mod vest. Hvis du først gik tyve meter mod vest og derefter halvtreds meter mod nord, ville du ende samme sted. Den slags gang er altså kommutativ.

Logik

Til de kommutative operationer hører også de logiske operatorer »og samtidig« (konjunktion) og »eller« (disjunktion). Det betyder, at udsagnet »tallet 5 er ulige og samtidig et primtal« har samme sandhedsværdi som udsagnet »tallet 5 er et primtal og samtidig ulige«. På samme måde for disjunktion: »tallet 6 er et primtal eller lige« har samme sandhedsværdi som udsagnet »tallet 6 er lige eller et primtal«.

Implikationen er derimod ikke kommutativ, altså udsagnet »hvis jeg vinder i lotto, så bliver jeg rig« er ikke det samme som »hvis jeg bliver rig, så vinder jeg i lotto«.