Komplekse tal

Komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal. I de reelle tal kan vi udføre de fleste almindelige operationer som addition, subtraktion, multiplikation og division (undtagen division med nul). I de reelle tal kan vi også uddrage kvadratrødder, men kun af ikke-negative tal. Det udgør et hul, for eksempel når vi løser en andengradsligning og får en negativ diskriminant. Dette hul lapper de komplekse tal.

Hvad er et komplekst tal

Fra de almindelige tal adskiller de komplekse sig først og fremmest ved, at de består af to dele, en reel del og en imaginær del. Et komplekst tal er et ordnet par af tal (x, y), hvor tallet x er den reelle del og tallet y den imaginære del. Hvis den reelle del er nul, er der tale om et rent imaginært tal. Tallene x og y er selv reelle.

Mængden af komplekse tal betegnes med det store bogstav C: ℂ.

Lighed mellem komplekse tal: i modsætning til almindelige tal har komplekse tal to komponenter. Hvis to komplekse tal skal være lig med hinanden, skal de derfor være lig med hinanden i begge komponenter. Disse komplekse tal er altså forskellige fra hinanden: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). De komplekse tal z₁ = (1, 2) og z₂ = (1, 2) er lig med hinanden: z₁ = z₂.

Rektangulær form og den imaginære enhed

Komplekse tal skrives oftere i rektangulær form, som ser sådan ud. Det komplekse tal (x, y) har rektangulær form x + yi, hvor i kaldes den imaginære enhed. For kvadratet på den imaginære enhed gælder et meget vigtigt forhold:

$$i^2=-1$$

Denne ligning kommer vi ofte til at bruge, sammen med andre potenser. Højere potenser kan nemlig beregnes på sædvanlig vis. Hvis vi for eksempel vil forenkle i³, kan vi efter reglerne for regning med potenser opdele udtrykket i i² · i. Vi ved allerede, at i² er lig med minus én. Det andet i kan vi ikke opdele yderligere, så vi får: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

På lignende måde for i⁴. Det kan vi opdele i i² · i², hvor i² = −1, så vi får: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Så i⁴ = 1. Det kan vi udnytte, når vi beregner endnu højere potenser af den imaginære enhed. Når vi for eksempel beregner i⁷, kan vi opdele det i i⁴ · i³. Vi ved, at i⁴ = 1, så vi får: 1 · i³. Og vi ved, at i³ = −i. Resultatet er: 1 · (−i) = −i.

Addition og multiplikation

Komplekse tal kan vi lægge sammen og gange. Når vi lægger to komplekse tal z₁ og z₂ sammen, lægger vi blot de reelle dele for sig og de imaginære dele for sig:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Eksempel: z₁ = 3 + 7i og z₂ = 5 + 8i. Summen ville se sådan ud: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Produktet af to komplekse tal er lidt sværere, men det kan skrives ud som en almindelig multiplikation af parenteser. Grundformlen ser sådan ud:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Og hvordan nåede vi frem til den? Vi prøver at gange z₁ · z₂ på samme måde, som vi ville gange en almindelig parentes. Vi får:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Da i² = −1, får vi efter omskrivning af det sidste led:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Og nu samler vi bare leddene uden den imaginære enhed og med den:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Eksempel. Vi prøver at gange tallene 5 + 6i og 4 + 7i. Vi får:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Modsatte, reciprokke og komplekst konjugerede tal

• Det modsatte tal til det komplekse tal x + yi har formen −x − yi. Ligesom hos de reelle tal får vi det modsatte tal ved at gange det givne komplekse tal med minus én. Eksempel: det modsatte tal til 2 + 7i er −2 − 7i. Det modsatte tal til −5 + 8i er 5 − 8i osv.

• Det reciprokke tal til det komplekse tal x + yi har formen $\frac{1}{x+yi}$. Det reciprokke tal til tallet 4 − 2i har således formen $\frac{1}{4-2i}$.

• Det komplekst konjugerede tal til tallet x + yi har formen x − yi. Det betegnes sædvanligvis med en streg over sådan: $\bar{z}$, eventuelt med en stjerne z*. Et sådant tal er det tal, der er komplekst konjugeret til det komplekse tal z. Det komplekst konjugerede tal til tallet 2 + 9i er tallet 2 − 9i.

Subtraktion og division

Når vi har defineret det modsatte og det reciprokke tal, kan vi også definere operationerne subtraktion og division. Hvis vi vil trække to komplekse tal fra hinanden, z₁ − z₂, lægger vi det modsatte tal til z₂ til tallet z₁. I praksis får vi en enkel formel:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

På samme måde omskriver vi divisionen z₁ / z₂ til en multiplikation, så vi ganger z₁ · z₂′, hvor z₂′ er det reciprokke tal til tallet z₂.

Numerisk værdi

Den numeriske værdi (modulus) af et komplekst tal z beregner vi med formlen:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(I kvadratroden er det andet z det komplekst konjugerede tal til z.) Betydningen af denne formel ses tydeligt i den geometriske fremstilling af komplekse tal.

Ethvert komplekst tal, hvis numeriske værdi er lig med én, kaldes et komplekst enhedstal. Eksempler på komplekse enhedstal: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Egenskaber ved den numeriske værdi:

• Den numeriske værdi af et komplekst tal er et reelt tal.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, hvor z* er det komplekst konjugerede tal.