Uendelighed

Uendelighed er et abstrakt begreb, som man i grunden slet ikke kan forestille sig. Selve uendeligheden har ingen ende, og det er også derfor, den har fået sit navn, men uendeligheden i almindelighed har heller ingen begyndelse (vi kan dog specificere den nærmere, for eksempel er en halvlinje også uendelig, men har en begyndelse). Uendelighed skrives som regel med den såkaldte »liggende otte« – ∞.

Vi regner med uendelighed

Uendelighed ligner delvis nul, som også er særlig på mange måder, og som der gælder særlige regler for. For eksempel kan man ikke dividere med nul, det ved nok ethvert lille barn (kender du i øvrigt den vittighed? Hvad er den bedste undskyldning, når man ikke har lavet sine matematikopgaver? »Jeg kom ved en fejl til at dividere med nul, og så brændte mit regnehæfte op…« ;o)).

Ligesom alt gange nul er nul, gælder det også, at alt gange uendelig eller alt plus uendelig er uendelig. Hvis du trækker et vilkårligt højt tal fra uendelig, har du stadig uendelig tilbage. Det samme gælder, hvis du prøver at dividere uendelig. Uendelig er simpelthen så stor, at selv om du hvert sekund trækker millioner fra, har du altid stadig uendelig tilbage. Nogle gange er det lidt svært at forstå, for eksempel har vi denne lille ligning: ∞ + 1 = ∞. Gælder den, eller gælder den ikke?

Logikken siger os, at venstre side af ligningen er større, for hvis jeg lægger en til uendelig, må hele udtrykket være større end blot uendelig. Det behøver det ikke at være :-). Som jeg allerede har sagt, er uendelig plus hvad som helst uendelig. Altså er uendelig plus en uendelig, og uendelig er lig med uendelig. Ligningen gælder.

Man kan også finde en anden vej gennem grænseværdier. Lad os se på brøken 1/x og beregne grænseværdien fra højre for x→0⁺ og antage, at vores hæfte ikke brændte op. En sådan grænseværdi ville være lig med uendelig. Hvis du lægger en til dette udtryk, får du udtrykket (1+x)/x, og grænseværdien for x→0⁺ ville igen være uendelig.

Det bliver sjovt, når vi begynder at kombinere flere uendeligheder. Hvad er for eksempel udtrykket uendelig minus uendelig lig med? Logikken siger os, at vi trækker to lige store tal fra hinanden, så resultatet må være nul. Jeg sagde også, at hvis vi trækker et hvilket som helst tal fra uendelig, bliver resultatet igen uendelig. Omvendt, hvis vi trækker uendelig fra et hvilket som helst tal, får vi minus uendelig. Så hvordan kommer vi videre? Alle resultater er teoretisk mulige. Matematikken siger, at udtrykket ∞ −∞ ikke er lig med noget bestemt, det er et udefineret/ubestemt udtryk. Det er et lignende eksempel som det, når du prøver at dividere med nul, det giver simpelthen ikke mening. Hvis du støder på sådan et ubestemt udtryk, må du på en eller anden måde omskrive udtrykket (ved nogle slags ubestemte udtryk kan du for eksempel bruge l'Hôpitals regel [udtales »lopitals regel«]).

Andre udefinerede/ubestemte udtryk:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

I øvrigt gælder de grundlæggende fortegnsregler stadig, for eksempel er −1 · ∞ lig med minus uendelig.

Har du lyst til at blive splittergal?

Så kast dig over mængdelæren og find ud af, hvilken mængde der er størst. Er for eksempel mængden af lige tal større eller mængden af ulige tal? Lige tal eller naturlige tal? Naturlige tal eller hele tal? Lige tal eller hele tal? Naturlige tal eller rationale tal? Svaret er, at alle er lige store. Selv om det kan virke mærkeligt (der må da være flere hele tal end ulige tal), er det lige store mængder. Til gengæld er mængden af reelle tal større end de nævnte mængder. Det er ikke let at blive klog på ;-)