Interval

Intervaller bruges meget i matematik og indgår i mange definitioner. Et interval er en mængde af punkter, som er afgrænset af to endepunkter. Desuden skelner vi mellem åbne og lukkede intervaller.

Grundlæggende beskrivelse

Vi bruger også intervaller i dagligdagen, for eksempel »for den forkerte øjenfarve kan du få en bøde fra Den Europæiske Union på mellem ti og tyve tusind kroner«. I eksemplet bruges ordene »mellem … og«, men matematisk set er der tale om et interval. Nu opstår der nogle lumske spørgsmål: Kan du få en bøde på præcis ti tusind kroner, eller regnes endepunktet ikke med? Hvor præcist kan jeg fastsætte bøden? Kan jeg give en bøde på 18.541,97 kr.? Eller kan jeg for eksempel kun regne i hele hundreder? Altså enten 18.500 eller 18.600?

Det hele afgøres af den matematiske skrivemåde. Her skal vi sige to væsentlige ting: i hvilken mængde vi bevæger os (i eksemplets sammenhæng — hundreder? Tusinder? Hele kroner?), og om endepunkterne hører med til intervallet (kan jeg få en bøde på netop ti eller tyve tusind?).

Den gode nyhed er, at vi i langt de fleste tilfælde i matematik vil have, at intervallet arbejder med mængden af reelle tal, så hvis du støder på et interval uden angivelse af mængden, er der helt sikkert tale om de reelle tal.

Nu har vi den mængde, vi udgår fra, men hvordan markerer vi, om vi vil medregne endepunkterne? Intervaller skrives med kantede parenteser. En kantet parentes, der vender indad, betyder, at endepunktet hører med til intervallet, og en, der vender udad, betyder, at endepunktet ikke hører med. Vi taler om lukkede og åbne intervaller. Hvis endepunktet hører med til intervallet, er intervallet lukket, og hvis det ikke gør, er det åbent.

Eksempler

Her følger eksempler (alle i mængden af reelle tal, medmindre andet er sagt):

• [1; 2]   Lukket interval fra et til to. Til intervallet hører alle reelle tal mellem et og to, inklusive et og to.
• ]1; 2[   Åbent interval fra et til to. Til intervallet hører alle reelle tal mellem et og to, men selve tallene et og to hører ikke med.
• [0; 1[   Intervallet er lukket til venstre og åbent til højre. Til intervallet hører alle tal mellem nul og et, inklusive nul selv, men et hører ikke med til intervallet.
• ]p; q]   Intervallet er åbent til venstre og lukket til højre. Til intervallet hører alle tal mellem tallene p og q, inklusive tallet q, men uden tallet p.
• [0; ∞[   Lukket til venstre og åbent til højre. Hvis der indgår uendelig i intervallet, skal du bruge et åbent interval i den side; uendelig har intet endeligt endepunkt, så et lukket interval giver ingen mening der.
• [1; 5] ⊂ ℕ   Her sker der en ændring: Vi arbejder ikke med mængden af reelle tal, men med mængden af naturlige tal. Vi har et lukket interval i begge ender, og i det pågældende interval er der således i alt fem tal: 1, 2, 3, 4 og 5.
• ]1; 5] ⊂ ℕ   Samme tilfælde som før, bare er intervallet åbent til venstre, så et hører ikke med til intervallet, og opregningen af alle elementer i intervallet er: 2, 3, 4 og 5.

Interval som mængde

Som du kan se, er et interval ikke andet end en delmængde af den mængde, som det er defineret over. Derfor kan vi arbejde med intervaller som med mængder og udføre mængdeoperationer med dem. For eksempel kunne foreningsmængden se sådan ud:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Pas på åbne intervaller, for der ville ligheden nemlig ikke gælde, fordi fem ikke hører med til det resulterende interval:

$$]0;5[\cup ]5;10[\ne ]0;10[$$

Rigtigt kunne det for eksempel se sådan ud:

$$]0;5[\cup ]5;10[=]0;10[-\{5\}$$

Hvornår du skal bruge et åbent interval

Forskellen på et åbent og et lukket interval er nødvendig at forstå. Et hyppigt tilfælde, hvor man bruger et åbent interval, er for eksempel definitionsmængden for logaritmen. Vi kan bruge logaritmen med et vilkårligt positivt reelt tal, og det betyder, at vi ikke kan kalde den med et negativt tal, men heller ikke med nul. Hvordan skriver vi det?

$$\mathrm{Dm}(\ln )=]0;\mathrm{\infty }[$$

Denne skrivemåde siger, at vi kan kalde logaritmen med et vilkårligt lille positivt tal, men ikke med nul. Så for eksempel tallet 1 hører til intervallet, tallet 0,001 også, og det samme gælder tallet 0,0000000001 eller 10⁻⁶⁶⁶. Men nul hører ikke længere til intervallet. På samme måde kunne vi skrive definitionsmængden for en funktion med en brøk, for eksempel den simple f(x) = 1/x.

$$\mathrm{Dm}(f)=]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;\mathrm{\infty }[$$

Det afgrænser mængden af reelle tal uden nul. I ingen af intervallerne står nul på et lukket endepunkts plads, og derfor vil nul heller ikke være med i den resulterende foreningsmængde. Men vi kan bruge et vilkårligt lille positivt tal eller et vilkårligt stort negativt tal (for negative tal gælder det, at -0,001 er større end -0,1, derfor »vilkårligt stort« og ikke »vilkårligt lille«).

Geometrisk fortolkning

Intervaller viser vi som regel på tallinjen som linjestykker, og endepunkterne vælger vi efter, om intervallet er lukket eller åbent. Hvis intervallet er lukket, er cirklen, der viser punktet, udfyldt, og hvis det er åbent, er den ikke udfyldt, så er der kun et omrids, kun en cirkel.

Den følgende figur viser tre intervaller, alle fra to til seks, men de adskiller sig i, om siderne er lukkede. Så der vises i rækkefølge disse intervaller: [2; 6], ]2; 6], ]2; 6[.