✖

Hele tal

Hele tal er tal, der ikke har nogen decimaldel. De indeholder de naturlige tal, de modsatte (negative) tal og nul.

Egenskaber

Flyvende tal

De hele tal danner en mængde, som indeholder tallene …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Mængden betegner vi sædvanligvis med bogstavet Z med en fordoblet midterstreg: ℤ, fra det tyske »Zahlen« (tal). De hele tal danner en uendelig og tællelig mængde.

De hele tal har for eksempel disse egenskaber:

  1. De er lukkede under addition og multiplikation, ligesom de naturlige tal. Det betyder, at hvis vi lægger to hele tal sammen, får vi igen et helt tal.
  2. I modsætning til de naturlige tal er de hele tal også lukkede under subtraktion. De naturlige tal var det ikke, fordi differensen mellem to naturlige tal kunne give et negativt tal. Det gør os ikke noget i de hele tal, for de indeholder de negative tal.
  3. Ligesom de naturlige tal er de ikke lukkede under division. Det gælder stadig, at vi efter division kan få et tal, der ikke er helt.
  4. Til hvert helt tal c findes der et modsat tal −c. Hvis vi har tallet 10, er det modsatte tal −10. For 55 er det −55. Og ligeså med negative tal: for −13 er det modsatte element 13. Hvis vi har det hele tal c og det modsatte tal −c, får vi nul som deres sum: c + (−c) = 0. Derfor er det modsatte element til nul igen nul.

Lige og ulige tal

De hele tal kan vi opdele i lige og ulige tal. Lige tal er tal, der er delelige med to, altså 2, −4, −8, 40, 124 osv. Ulige tal har rest én ved division med to, altså tallene −1, 1, 5, 19, −41 osv. Læg mærke til, at vi virkelig også skelner mellem lige og ulige ved negative tal (dvs. tallet −5 er virkelig ulige), og at nul er et lige tal.

Egenskaber med hensyn til addition: hvis du lægger to lige tal sammen, får du igen et lige tal. Andre egenskaber viser følgende tabel:

lige+lige=ligelige+ulige=uligeulige+ulige=lige

En lignende tabel for multiplikation:

lige⋅lige=ligelige⋅ulige=ligeulige⋅ulige=ulige

Division med rest

Også på mængden af hele tal kan vi, ligesom ved de naturlige tal, definere division med rest, vi skal bare tage højde for de negative tal. Den grundlæggende definition kommer denne gang til at se sådan ud:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

I dette udtryk dividerer vi a:b, tallet q er resultatet (kvotienten) og tallet r resten ved division. Tallet b skal være forskelligt fra nul, vi kan ikke dividere med nul. Resten skal være ikke-negativ og skal være mindre end den numeriske værdi af b, hvilket sikrer, at kvotienten og resten bliver entydige.

Hvordan ville sådan en division så se ud? Vi prøver at dividere −21:4. Så ville tallene se sådan ud:

−21=−6⋅4+3

Resultatet (kvotienten) er −6 og resten er 3. Det kan overraske dig, at resultatet er et andet, end hvis alle tal var positive:

21=5⋅4+1

Her ville resultatet (kvotienten) være 5 og resten 1. Forskellen ligger netop i de negative tal. I de positive tal søger vi nemlig i første trin det største hele tal, der ikke er større end 21 og er deleligt med fire uden rest. Det er tallet 20. Derfor dividerer vi 20:4 = 5 og får vores femtal. Resten får vi så som differensen 21 − 20.

I de negative tal går vi frem på samme måde. Vi leder efter det største tal, der ikke er større end −21 og er deleligt uden rest med 4. Tallet −20 er imidlertid større end −21. Derfor er det største tal, der ikke er større end −21 og er deleligt med 4 uden rest, tallet −24. Resten får vi igen som differensen −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Relaterede artikler