Kvadratkomplettering

Med metoden kvadratkomplettering kan vi udtrykke andengradspolynomiet ax² + bx + c på formen (x + m)² + n.

Algoritme for kvadratkomplettering

Algoritmen bruger den klassiske kvadratsætning:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Fremgangsmåden er følgende. Indtil videre antager vi, at a = 1. Forestil dig, at vi har andengradspolynomiet f(x) = x² + 6x + 1 og vil omskrive det til formen (x + m)² + n. Først bestemmer vi værdierne i den første parentes: (x + m)². Hvilket tal skal vi indsætte for m? Ifølge formlen skal ligheden (x + m)² = x² + 2mx + m² gælde. I funktionen f har vi x², det er i orden. Men på førstegradsleddets plads har vi 6x. Hvilken værdi skal vi vælge for m, så 6x = 2mx gælder? Det skal åbenbart gælde, at m = b/2 = 6/2 = 3. For tallet m indsætter vi altså altid halvdelen af værdien af tallet b fra andengradspolynomiet.

Dermed har vi fået formen (x + 3)² + n. Tilbage er at bestemme tallet n. Vi ved allerede, at (x + m)² = x² + 2mx + m². Delen x² + 2mx er den ønskede, men udtrykket m² er for meget, i funktionen f er der ikke noget tilsvarende. Derfor trækker vi m² fra det nuværende resultat. Vi får så formen (x + m)² − m², som efter at have ganget parentesen ud er lig med x² + 2mx + m² − m². Efter subtraktionen har vi kun x² + 2mx.

I funktionen f har vi dog også stadig konstantleddet c. Det lægger vi simpelthen til. Vi får så formen (x + m)² − m² + c, efter at have ganget parentesen ud x² + 2mx + m² − m² + c og efter forenkling x² + 2mx + c. Fordi m = b/2, er dette udtryk lig med x² + bx + c, altså får vi, når vi ganger udtrykket (x + m)² − m² + c ud, den oprindelige funktion tilbage, vi regnede rigtigt. (Jeg gentager, at a = 1, der mangler altså ikke noget nogen steder.)

For eksempelfunktionen f får vi altså udtrykket på kvadratkompletteret form (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Vi kan prøve at gange ud igen:

$$\begin{array}{rcl}(x+3{)}^2-8& =& x^2+6x+9-8\\ & =& x^2+6x+1\end{array}$$

Metoden kvadratkomplettering bruger du for eksempel, når du vil tegne grafen for et andengradspolynomium.

Når a ≠ 1

I tilfældet, hvor vi har en funktion, for hvilken a = 1 ikke gælder, går vi frem på den måde, at vi sætter tallet a uden for parentes i hele funktionen og fortsætter, som vi allerede kan. Eksempel:

$$2x^2+16x-12=0$$

I hele funktionen sætter vi to uden for parentes:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=0$$

Funktionen inde i parentesen kan vi allerede omskrive til et kvadrat.

$$x^2+8x-6=(x+4{)}^2-16-6=(x+4{)}^2-22$$

Dette resultat indsætter vi i den foregående ligning, og vi får således:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=2((x+4{)}^2-22)=2(x+4{)}^2-44$$