Rationale tal

Rationale tal er alle de tal, der kan skrives som en kvotient af to hele tal, dvs. som en brøk.

Definition

Rationale tal er altså alle de tal, der kan skrives på formen

$\frac{a}{b} a, b \in Z, b \neq 0.$

Betingelsen om, at begge tal er hele tal, har en åbenlys betydning. Hvis du nemlig valgte et tal, der ikke er rationalt, for eksempel π, og opstillede en brøk sådan her:

$\frac{π}{1},$

ville du få tallet π tilbage, som ikke er rationalt. Derfor skal både nævneren og tælleren være et helt tal. Og fordi vi ikke må dividere med nul, skal nævneren være forskellig fra nul.

Vi kan også sige, at rationale tal er tal med en endelig decimalfremstilling og tal med en uendelig decimalfremstilling, hvor en del gentager sig periodisk. Så eksempler på rationale tal, først på brøkform:

$\frac{1}{3}, - \frac{5}{9}, \frac{13}{29}, \frac{4}{1}, \dots$

og desuden tal på decimalform: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…= $0, \overset{―}{3}$

Periodisk skrivemåde

I det foregående eksempel havde vi tallet 0,3333… Det er decimalfremstillingen af brøken 1/3 og er et tal med en uendelig decimalfremstilling. Alligevel er det rationalt, fordi decimalfremstillingen er periodisk. Periodisk decimalfremstilling betyder, at fra et vist sted i tallet gentages den samme ciffersekvens hele tiden. I vores tilfælde gentog trieren sig i det uendelige. Men der kunne for eksempel også gentage sig ciffersekvensen 12345 i det uendelige, det ville stadig være et tal med en periode, et rationalt tal.

Så ethvert tal med en endelig decimalfremstilling er et rationalt tal. Ethvert tal med en uendelig decimalfremstilling, hvor en del gentager sig periodisk, er også et rationalt tal. Et tal med en uendelig decimalfremstilling, hvor ingen del gentager sig periodisk, er et irrationalt tal.

Perioden markerer vi enten med tre prikker eller, hyppigere, med en streg over de cifre, som gentager sig periodisk. Der kan gentage sig ét ciffer periodisk, men også gerne flere cifre. Perioden kan begynde lige i begyndelsen af decimaldelen eller et hvilket som helst senere sted. Dette er alt sammen periodiske tal:

$\begin{array}{rclcl} 7 / 3 & = & 2,333 33 \dots & = & 2, \overset{―}{3} \\ 16 / 11 & = & 1,454 545 \dots & = & 1, \overset{―}{45} \\ 11 / 6 & = & 1,833 333 \dots & = & 1, 8 \overset{―}{3} \end{array}$

Betegnelse og betydning

Rationale tal betegner vi med bogstavet Q med dobbelte buer: ℚ. Det kommer af det engelske »quotient«, på dansk »kvotient«, som betegner resultatet af en division.

Rationale tal bruges til at angive en del af en helhed. Typisk for eksempel »halvdelen« eller »en tiendedel«. Det er betegnelser for en del af en helhed, som i de rationale tal kan udtrykkes som kvotienterne 1/2 og 1/10. I disse tilfælde angiver nævneren helheden og tælleren delen af helheden. Hvis tælleren er lig med nævneren, betyder det, at vi har hele helheden. Disse andele omregnes så sædvanligvis til procent.

Egenskaber

Rationale tal er en uendelig tællelig mængde.

Rationale tal er lukkede under addition, subtraktion, multiplikation og division. Det betyder, at når vi dividerer to rationale tal, får vi igen et rationalt tal. Det er en ændring i forhold til de hele tal, som ikke var lukkede under division.
Rationale tal indeholder alle hele tal. Hvis alle rationale tal kan udtrykkes som en brøk a/b, er det nok, at b = 1, og efter division a/1 = a får vi altid tællerens værdi tilbage.
Hvis vi tager to rationale tal a og b, for hvilke der gælder a < b, finder vi altid et andet rationalt tal q, for hvilket der gælder: a < q < b. Med andre ord kan vi mellem vilkårlige to rationale tal altid finde et andet rationalt tal. Der gælder også en stærkere version: mellem vilkårlige to rationale tal findes der uendeligt mange andre rationale tal.
Konsekvensen af den foregående sætning er, at der ikke findes et mindste positivt (eller et største negativt) rationalt tal. Det kan vi bevise med et modstridsbevis. Lad m være det mindste positive rationale tal. Så burde vi ikke kunne finde et mindre positivt rationalt tal. Men ifølge den foregående sætning gælder 0 < m, og derfor findes der et rationalt tal s, for hvilket 0 < s < m. Vi har fundet et tal s, som er større end nul (er positivt) og er mindre end tallet m. Det er i modstrid med, at m er det mindste positive rationale tal.

Regneoperationer med rationale tal

Alle almindelige og grundlæggende operationer er beskrevet i artiklen brøker.

Omskrivning af et periodisk tal til en brøk

Fordi et periodisk tal samtidig er et rationalt tal, må det kunne omskrives til en brøk. Vi viser fremgangsmåden. I begyndelsen har vi det periodiske tal a = 0,333… Vi skriver

$a = 0, \overset{―}{3}$

Nu foretager vi klassiske ækvivalente omformninger af ligninger og ganger hele ligningen med ti:

$10 a = 3, \overset{―}{3}$

På højre side flyttede trieren sig over til enerne, efter decimalkommaet er der stadig uendeligt mange trier. Nu trækker vi a fra ligningen, altså trækker vi 0,333… fra, hvorved vi slipper af med den uendelige decimalfremstilling.

$9 a = 3$

Dette trin var måske lidt kompliceret, så jeg skriver det ud. Vi udførte denne operation:

$\begin{array}{ccccccc} 3 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ - & 0 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ = & 3 & , & 0 & 0 & 0 & \dots \end{array}$

Den øverste ligning 9a = 3 dividerer vi bare med ni og får resultatet:

$a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Vi prøver endnu et eksempel:

$a = 1,454 545 \dots = 1, \overset{―}{45}$

Fremgangsmåden vil være lidt anderledes. I det forrige eksempel havde vi en periode med længden én. Mere præcist kunne perioden være så lang, som vi ville, fordi de samme tal hele tiden gentog sig, men det passede os at have den med længden én. Nu har vi en periode med længden to. Igen kunne vi tage en periode med længden seks, men det passer os ikke. For at trække hele perioden fra må vi denne gang gange med hundrede:

$100 a = 145, \overset{―}{45}$

Vi trækker et a fra:

$99 a = 144$

Og dividerer med 99:

$a = \frac{144}{99} = \frac{16}{11}$

Hvis du prøver at dividere disse tal på lommeregneren, får du netop 1,454545… De fleste lommeregnere afrunder dog, så det kan vise et lidt andet resultat.

Et kuriosum med 0,9999…

Bare for sjov prøver vi at omskrive det periodiske tal

$a = 0, \overset{―}{9}$

til en brøk. Vi ganger med ti:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Vi trækker a fra:

$9 a = 9$

Vi dividerer med ni:

$a = 1$

Vi ser, at vi fik én, altså gælder det, at tallet 0,999… er lig med tallet 1.