✖

Algebraiske tal

Et tal, der er rod i et polynomium med heltallige koefficienter, kalder vi et algebraisk tal. Hvad betyder det i virkeligheden? Vi kan tage et hvilket som helst tal og lege en matematisk leg med det. Målet med legen er at tage et tal x og reducere det til nul, og undervejs må vi kun bruge addition, subtraktion, multiplikation og potenser, og til omskrivningerne må vi kun bruge hele tal. Eksemplerne gør det tydeligere.

Vi starter med tallet 42. Hvordan kan vi omskrive det, så vi får nul? Vi kan trække det hele tal 42 fra, og så får vi nul (at gange med nul er ikke tilladt):

42−42=0

Da det lykkedes os at reducere tallet 42 til nul, er tallet 42 algebraisk. Det var ret trivielt. Hvad med en brøk, for eksempel 73? Da vi kun må arbejde med hele tal, kan vi ikke trække 73 fra denne brøk for at få nul. Vi må klare os på en anden måde. Først ganger vi brøken med tre:

3⋅73=3⋅73=7

Vi fik et helt tal, og det kan vi allerede omdanne til nul: vi trækker syv fra. Vi kan altså skrive

3⋅73−7=0

og vi kan sige, at brøken syv tredjedele også er et algebraisk tal. Vi tager et endnu sværere tal, kvadratroden af to: 2. Ingen multiplikation eller addition hjælper os, vi må først af med kvadratroden. Vi kvadrerer udtrykket:

(2)2=2

Vi fik et helt tal, som vi kan omdanne til nul, vi trækker to fra:

(2)2−2=0

Også kvadratroden af to, som er et irrationalt tal, er et algebraisk tal. Indtil videre ser det ud til, at ethvert tal, vi prøver, er algebraisk. Hvad med for eksempel Eulers tal e? Det er også irrationalt, så det har en uendelig decimalfremstilling uden gentagelser ligesom kvadratroden af to. Dets tilnærmede værdi er 2,71. I modsætning til kvadratroden af to findes der ikke nogen måde, hvorpå vi med de operationer, vi har tilladt os, kan reducere det til nul. Uanset om vi lægger noget til Eulers tal, ganger det med noget eller opløfter det i en potens, får vi altid bare endnu et irrationalt tal. Eulers tal er derfor ikke et algebraisk tal, hurra!

På samme måde er tallet pi (π), som er cirka 3,14, ikke et algebraisk tal.

Tal, som ikke er algebraiske, kalder vi transcendente.

Den præcise definition

For ethvert algebraisk tal må der altså findes et polynomium med heltallige koefficienter, som netop dette algebraiske tal er rod i. En rod i et polynomium er et tal, for hvilket polynomiet er lig med nul. Hvis vi vender tilbage til eksemplerne ovenfor, ville vi for tallet 42 få ligningen

x−42=0

og da roden i polynomiet x − 42 netop er x = 42, betyder det, at 42 er et algebraisk tal. For det rationale tal 73 ville det være ligningen

3x−7=0

for roden i polynomiet 3x − 7 er netop x=73. Og endelig ville vi for kvadratroden af to få

x2−2=0

for roden i polynomiet x2 − 2 er netop kvadratroden af to. For Eulers tal eller for pi kan vi ikke opstille nogen sådan ligning eller noget sådant polynomium, for de er transcendente tal og ikke algebraiske tal.

Eksempler på algebraiske tal

  • Ethvert helt tal er også algebraisk.
  • Ethvert rationalt tal (brøk) er algebraisk.
  • Irrationale tal er sværere. Som vi har set, er nogle irrationale tal algebraiske, for eksempel kvadratroden af to, men nogle er det ikke, som Eulers tal.
  • Enhver n'te rod af et helt tal er algebraisk.
  • Det gyldne snit er et algebraisk tal.