Verdünnen und Mischen von Lösungen

Eine Lösung entsteht, wenn wir zum Beispiel Ethanol in Wasser lösen. Wir erhalten ein homogenes Gemisch, das aus einem gelösten Stoff (Ethanol) und einem Lösungsmittel (Wasser) besteht. Meistens meinen wir mit einer Lösung eine Lösung im flüssigen Aggregatzustand, im Allgemeinen kann es aber auch eine Lösung aus zwei festen Stoffen geben, zum Beispiel die Legierung Bronze.

Konzentration einer Lösung

Die Konzentration sagt uns, wie viel gelöster Stoff in der Lösung enthalten ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Konzentration anzugeben:

• Massenanteil: wie viele Gramm gelöster Stoff in 100 g Lösung enthalten sind.
• Volumenanteil: wie viele Milliliter gelöster Stoff in 100 ml Lösung enthalten sind.
• Prozentangabe: wie viel Prozent gelöster Stoff in der Lösung enthalten sind, zum Beispiel können wir eine 40-%-Lösung haben, was bedeutet, dass in 100 ml Lösung 40 ml des Stoffes enthalten sind.

Welche Konzentration hätte eine Lösung aus Wasser und Ethanol, wenn wir 500 ml dieser Lösung hätten, davon 150 ml Ethanol? Um den Volumenanteil zu erhalten, müssen wir wissen, wie viele ml in 100 ml enthalten sind. Wir wissen aber, wie viele ml in einem halben Liter enthalten sind. Wir können uns mit dem Dreisatz helfen. Zuerst berechnen wir, wie viel Ethanol in 1 ml Lösung wäre, indem wir die Menge des Ethanols durch 500 dividieren:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Wenn wir die Menge Ethanol in 1 ml kennen, finden wir die Menge in 100 ml, indem wir diese Menge mit 100 multiplizieren:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Die Lösung hat also eine Konzentration von 30 ml Ethanol auf 100 ml. Es handelt sich somit um eine 30-%-Lösung.

Mischungsgleichung

Mit der Mischungsgleichung können wir die Konzentration der Lösung berechnen, die wir durch das Mischen zweier verschiedener Lösungen erhalten. Stellen wir uns vor, wir hätten zwei Lösungen:

1. eine 500-ml-Lösung, die 30 % Ethanol enthält,
2. eine 400-ml-Lösung, die 20 % Ethanol enthält.

Welche Konzentration erhalten wir, wenn wir diese Lösungen mischen? Bezeichnen wir mit V₁ = 500 das Volumen der ersten Lösung, mit V₂ = 400 das Volumen der zweiten Lösung und mit V = V₁ + V₂ das Volumen der resultierenden Lösung.

Außerdem brauchen wir den sogenannten Volumenanteil, das ist nur die prozentuale Angabe der Konzentration, umgewandelt in die Form eines Bruchs. Die erste Lösung mit einer Konzentration von 30 % hat also den Volumenanteil $c_1=\frac{30}{100}$ und die zweite Lösung mit einer Konzentration von 20 % den Volumenanteil $c_2=\frac{20}{100}$. (Wenn wir statt mit Litern mit Gramm arbeiten würden, hätten wir Massenanteile, das Prinzip wäre dasselbe.) Die resultierende Lösung habe den Volumenanteil c. Jetzt können wir die Mischungsgleichung aufschreiben:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

In dieser Gleichung ist für uns die einzige Unbekannte die resultierende Konzentration c. Alle Werte links vom Gleichheitszeichen kennen wir aus der Aufgabenstellung, und das resultierende Volumen V kennen wir auch, es ist nur die Summe der Volumina V₁ und V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Wir setzen für alle Variablen die konkreten Werte ein:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

Auf der linken Seite berechnen wir nun die Produkte der Brüche, und auf der rechten Seite addieren wir nur die Volumina:

$$150+80=c\cdot 900$$

Jetzt dividieren wir die ganze Gleichung durch 900, sodass auf der rechten Seite nur die endgültige Konzentration c übrig bleibt:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Wir addieren im Zähler und vertauschen nur die linke und die rechte Seite der Mischungsgleichung (typischerweise wollen wir die Unbekannte links haben):

$$c=\frac{230}{900}$$

Das ist unser resultierender Volumenanteil. Wollen wir die Angabe als Verhältnis erhalten, berechnen wir 230 geteilt durch 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

Die Angabe in Prozent erhalten wir, indem wir dieses Verhältnis mit 100 multiplizieren, womit wir etwa 25,6 % erhalten. Die resultierende Lösung hat eine Konzentration von etwa 25,6 %, das heißt, sie enthält ungefähr 25,6 ml Ethanol auf 100 ml.

Womit verdünnen wir, um die gewünschte Lösung zu erhalten?

Wir können aber auch eine etwas andere Frage beantworten wollen. Nehmen wir wieder eine 500-ml-Lösung, die 30 % Ethanol enthält, und eine zweite Lösung, die 55 % Ethanol enthält. Wie viele ml der zweiten Lösung müssen wir mit der ersten mischen, um eine 40-%-Lösung zu erhalten? Wir verwenden wieder die Mischungsgleichung

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Die einzige Unbekannte ist für uns V₂, alles andere kennen wir. Im Gegensatz zum vorherigen Fall kennen wir nämlich $c=\frac{40}{100}$, weil wir wissen, welche Lösung wir mischen wollen. Wir setzen die bekannten Werte in die Mischungsgleichung ein:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Die ganze Gleichung multiplizieren wir mit 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Wir berechnen das Produkt auf der linken Seite und multiplizieren die Klammer auf der rechten Seite aus:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Wir subtrahieren 15.000 auf beiden Seiten der Gleichung:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Wir subtrahieren 40 · V₂ auf beiden Seiten der Gleichung:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Wir addieren bzw. subtrahieren, was wir können:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Wir subtrahieren auf der rechten Seite:

$$15\cdot V_2=5000$$

Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Wir müssen also etwa 333 ml (ein Drittel Liter) der zweiten 55-%-Lösung zugießen, um eine Lösung mit einer Konzentration von 40 % zu erhalten. Wir können überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Die erste 500-ml-Lösung enthielt 30 % Ethanol, das heißt, sie enthielt 150 ml Ethanol. Wenn wir 333 ml der zweiten 55-%-Lösung zugießen, enthält diese 183 ml Ethanol. Insgesamt haben wir also eine Lösung mit einem Volumen von 500 ml + 333 ml erhalten, das sind 833 ml, die 150 ml + 183 ml enthält, das sind 333 ml Ethanol. Berechnen wir den Quotienten:

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Wir haben (nach dem Runden) eine 40-%-Lösung aus Ethanol und Wasser erhalten.