Gibt es mehr gerade oder ungerade Zahlen?

Was meinst du, von welchen Zahlen gibt es mehr? Gerade oder ungerade? Oder gibt es gleich viele? Wie könnten wir das beurteilen? Und was ist mit anderen Zahlen? Gibt es mehr gerade oder mehr natürliche Zahlen? Mehr natürliche oder mehr rationale Zahlen? Ganz einfach ist das nicht, denn es gibt unendlich viele der genannten Zahlen. Trotzdem können wir vergleichen und herausfinden, von welchen Zahlen es mehr und von welchen es weniger gibt.

Probieren wir es an einer kleinen Menge von Zahlen aus. Stellen wir uns zwei Mengen von Zahlen vor: blaue Zahlen und rote Zahlen:

Können wir irgendwie sagen, von welchen Zahlen es mehr gibt? Rote oder blaue? Wir sehen ganz klar, dass … Wie bitte? Du bist farbenblind und siehst es nicht klar? Na gut, ab jetzt stellen wir die roten Zahlen zusätzlich als Quadrate dar:

Gut, jetzt können wir klar sehen, dass es mehr blaue als rote Zahlen gibt. Das war einfach, weil wir mit endlichen Mengen von Zahlen arbeiten und sie deshalb zählen können. Wir sehen, dass wir sechs blaue Zahlen und nur drei rote haben. Unendliche Mengen werden nicht mehr so einfach sein, denn wir können sie nicht zählen. Beantworten wir also die Frage aus der Überschrift: Gibt es mehr gerade oder ungerade Zahlen? Der Einfachheit halber bleiben wir bei den positiven Zahlen. Stell dir einen Sack voll aller ungeraden und einen Sack voll aller geraden Zahlen vor. Welcher Sack ist größer?

Nun, sich unendlich viele Zahlen vorzustellen ist nicht gerade einfach, und sie zu zählen ist noch schwieriger. Gibt es nicht eine andere Möglichkeit, die Größen von Mengen zu vergleichen?

Vergleich zweier endlicher Mengen

Stell dir vor, wir haben einen Sack voller Bräutigame und einen Sack voller Bräute. Wenn wir für jeden Bräutigam genau eine Braut und für jede Braut genau einen Bräutigam haben, können wir sagen, dass wir gleich viele Bräutigame und Bräute haben:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Siehst du? Jede Braut aus der ersten Reihe hat ihren eigenen Ehemann aus der zweiten Reihe und umgekehrt – jeder Ehemann hat seine eigene Ehefrau. Es könnte aber auch ein anderer Fall eintreten: Jede Braut hätte ihren Ehemann, aber nicht jeder Ehemann hätte eine Braut:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Jede Ehefrau hat einen Ehemann, aber ein Ehemann bleibt traurig und ohne Ehefrau zurück. Wenn uns jetzt ein Ehemann übrig bleibt, können wir sagen, dass wir mehr Ehemänner als Ehefrauen haben. Ebenso, wenn eine Braut übrig bleibt

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

so können wir sagen, dass wir mehr Bräute als Ehemänner haben.

Vergleich zweier unendlicher Mengen

Können wir dieses Verfahren auch beim Vergleich zweier unendlicher Mengen verwenden? Können wir jede ungerade Zahl mit einer geraden Zahl und jede gerade Zahl mit einer ungeraden Zahl paaren, ohne dass wir eine der Zahlen mehrmals verwenden? Wir können! Jede ungerade Zahl n können wir mit der geraden Zahl n + 1 paaren. Also paaren wir die Zahl 5 mit der Zahl 5 + 1, die Zahl 149 mit der Zahl 150 usw. Die Paarung zeigt uns die folgende Animation:

Zu jeder ungeraden roten Zahl haben wir eine passende einzigartige blaue gerade Zahl, und zu jeder geraden blauen Zahl haben wir eine passende einzigartige rote ungerade Zahl. Wir haben alle ungeraden Zahlen mit allen geraden Zahlen gepaart. Das bedeutet aber, dass es gleich viele gerade und ungerade Zahlen gibt!

Na gut, das war nicht besonders überraschend, oder? Versuchen wir, andere Mengen von Zahlen zu vergleichen: alle natürlichen Zahlen gegenüber den geraden Zahlen. Hier wird das Ergebnis schon schockierender sein.

Gibt es mehr natürliche oder mehr gerade Zahlen?

Von welchen Zahlen gibt es mehr? Natürliche oder gerade?

Wir sehen offenbar, dass die natürlichen Zahlen zugleich alle geraden Zahlen enthalten. Und darüber hinaus enthalten die natürlichen Zahlen noch einige Zahlen mehr – die ungeraden Zahlen. Es ist also klar, dass es mehr natürliche Zahlen geben muss – sie enthalten ja doppelt so viele Zahlen!

Ja, wenn das Leben nur so einfach wäre!

Uns interessiert doch nicht, ob die eine Menge von Zahlen einige Zahlen mehr enthält. Uns interessiert, ob wir die Zahlen aus zwei verschiedenen Mengen irgendwie paaren können. Können wir jede gerade Zahl mit jeder natürlichen Zahl paaren? Obwohl es mehr natürliche Zahlen gibt? Doch, das können wir.

Jede natürliche Zahl p können wir einfach mit der geraden Zahl 2 · p paaren und umgekehrt – jede gerade Zahl n können wir mit der natürlichen Zahl n / 2 paaren. Die natürliche Zahl 5 paaren wir also mit der geraden Zahl 10, und die gerade Zahl 14 paaren wir mit der natürlichen Zahl 7 usw. Die Paarung für die ersten paar Zahlen zeigt die folgende Animation:

Plötzlich haben wir für jede natürliche Zahl eine einzigartige gerade Zahl und für jede gerade Zahl eine einzigartige natürliche Zahl! Was macht es schon, dass es mehr natürliche Zahlen gibt. Von beiden Arten von Zahlen gibt es unendlich viele, und sie gehen uns nie aus. Aus unserer Sicht ist die Menge der geraden Zahlen also genauso groß wie die Menge der natürlichen Zahlen! 😱

Das ist etwas unintuitiv, aber es ist so.

Gibt es mehr natürliche oder mehr rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind Brüche. Alle Zahlen, die sich in der Form p/q schreiben lassen, wobei p und q ganze Zahlen sind und q ≠ 0, sind rationale Zahlen. Zum Beispiel sind ½, ¾ oder 8 rationale Zahlen, aber π ist keine rationale Zahl. Von den rationalen Zahlen gibt es viel mehr als von den natürlichen. Zum Beispiel gibt es zwischen den Zahlen 2 und 4 genau eine ganze Zahl, nämlich die Zahl 3, aber unendlich viele rationale Zahlen. Es gibt sogar unendlich viele rationale Zahlen zwischen 0,001 und 0,002. So viele rationale Zahlen gibt es!

Man würde also erwarten, dass die Menge der rationalen Zahlen größer sein muss als die Menge der natürlichen Zahlen. Aber zugleich ahnen wir alle irgendwie, dass da ein Haken sein wird. Na gut, versuchen wir, die rationalen Zahlen mit den natürlichen Zahlen zu paaren. Wir beginnen damit, dass wir die rationalen Zahlen in einer solchen Tabelle aufschreiben:

Das Muster sollte klar sein: Alle Brüche in der ersten Zeile haben im Zähler (über dem Bruchstrich) eine Eins und im Nenner nacheinander die wachsenden Zahlen 1, 2, 3 usw. In der Spalte ist es dann umgekehrt. Würden wir bis ins Unendliche fortfahren, hätten wir in dieser Tabelle alle existierenden Brüche. Zum Beispiel steht der Bruch 1478/517 in der Zeile 1478 und in der Spalte 517. Versuchen wir nun, unsere Paarungsfunktion zu bilden. Wir könnten sie so bilden:

• Die natürliche Zahl 1 paaren wir mit dem ersten Bruch in der ersten Zeile, d. h. mit 1/1
• Die natürliche Zahl 2 paaren wir mit dem zweiten Bruch in der ersten Zeile, d. h. mit 1/2
• Die natürliche Zahl 3 paaren wir mit dem dritten Bruch in der ersten Zeile, d. h. mit 1/3
• Die natürliche Zahl 4 paaren wir mit dem vierten Bruch in der ersten Zeile, d. h. mit 1/4
• …

Haben wir so alle natürlichen Zahlen gepaart? Ja. Jede natürliche Zahl hat ihr Gegenstück. Die natürliche Zahl 174 hat als Gegenstück den Bruch 1/174. Gilt das aber auch umgekehrt? Hat jeder Bruch sein Gegenstück in den natürlichen Zahlen? Welches Gegenstück hat der Bruch 2/3? Keines, denn mit unserer Paarungsfunktion sind wir nie in die zweite Zeile gelangt. Wir haben nur die erste Zeile der Brüche gepaart.

Bedeutet das, dass es mehr rationale als natürliche Zahlen gibt? Leider nicht – dass eine Paarungsstrategie nicht funktioniert, heißt nicht, dass keine andere funktioniert. Versuchen wir es diesmal entlang der Diagonalen:

• Die natürliche Zahl 1 paaren wir mit dem Bruch 1/1 (erste Diagonale),
• die natürliche Zahl 2 paaren wir mit dem Bruch 1/2 (zweite Diagonale),
• die natürliche Zahl 3 paaren wir mit dem Bruch 2/1 (zweite Diagonale),
• die natürliche Zahl 4 paaren wir mit dem Bruch 1/3 (dritte Diagonale),
• die natürliche Zahl 5 paaren wir mit dem Bruch 2/2 (dritte Diagonale),
• die natürliche Zahl 6 paaren wir mit dem Bruch 3/1 (dritte Diagonale),
• usw.

Du kannst dir die Paarungsstrategie in der Animation ansehen:

So können wir alle Brüche abdecken. Keine Diagonale ist unendlich, also bleiben wir in keiner Diagonale „für immer“ hängen. Am Ende wird jedem Bruch eine natürliche Zahl zugeordnet sein, und natürlich wird auch jeder natürlichen Zahl ein einzigartiger Bruch zugeordnet sein.

Nun … eigentlich doch nicht ganz. Wenn wir uns die Tabelle mit den Brüchen noch einmal ansehen, stellen wir fest, dass sich dort viele Zahlen wiederholen. Zum Beispiel stellen die Brüche 1/1, 2/2, 3/3 usw. dieselbe Zahl dar – die Zahl 1. Genauso stellen die Brüche 1/2, 2/4 und 3/6 ein Halb dar. In Wirklichkeit bilden wir also die natürlichen Zahlen 1, 5, 13 usw. auf dieselbe rationale Zahl 1 ab! Wir haben mehrere Bräutigame, die dieselbe Braut heiraten. Das geht nicht!

Zum Glück können wir das einfach beheben. Wir streichen aus unserer Tabelle einfach alle Brüche, die nicht vollständig gekürzt sind, d. h. alle Brüche, die sich kürzen lassen. Nach dem Streichen bleiben in der Tabelle nur noch einzigartige rationale Zahlen, und unser Trick mit den Diagonalen funktioniert. Jede natürliche Zahl wird mit einer einzigartigen rationalen Zahl gepaart sein und umgekehrt.

Das bedeutet aber, dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß ist wie die Menge der rationalen Zahlen!

Bisher sieht es so aus, als wären alle unendlichen Mengen gleich groß. Gibt es eine unendliche Menge, die größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen?

Gibt es mehr natürliche oder mehr reelle Zahlen?

Jetzt kommt unsere letzte Rettung ins Spiel: die reellen Zahlen. Andere Zahlen haben wir auf der Zahlengeraden nicht mehr. Wie sehen die reellen Zahlen aus? Die reellen Zahlen enthalten alle rationalen Zahlen und dazu noch alle irrationalen. Wenn wir eine Zahl in Dezimaldarstellung schreiben, gilt für eine rationale Zahl:

• Sie hat entweder eine endliche Dezimaldarstellung, z. B. 0,4841554,
• oder eine unendliche periodische Dezimaldarstellung: 0,1313131313…

Irrationale Zahlen haben dagegen immer eine unendliche Dezimaldarstellung, die zugleich nicht periodisch ist. Eine irrationale Zahl ist zum Beispiel die Zahl π, die gleich 3,141592653… ist (keine Periode). Verraten wir gleich vorab, dass es von den reellen Zahlen viel mehr gibt als von den rationalen und damit auch als von den natürlichen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen. Und wie beweisen wir das?

Stell dir vor, wir hätten eine Paarungsstrategie gefunden, mit der wir alle natürlichen und alle reellen Zahlen paaren. Sagen wir, es wäre diese:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Nehmen wir an, links stehen alle natürlichen Zahlen und rechts alle reellen. Wäre das wahr, könnten wir keine reelle Zahl finden, die rechts fehlt. Da wir schon gespoilert haben, dass die Menge der reellen Zahlen größer ist, bedeutet das, dass uns rechts irgendeine Zahl fehlt. Ja, aber welche? Wir sehen zum Beispiel, dass die Zahl 0,4818063607183678 fehlt. Aber was, wenn sie sich gerade unter der Zahl 8 versteckt?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Und was ist mit der Zahl 0,4208424736008147? Auch die sehen wir nicht. Aber was, wenn sie sich gerade unter der Zahl neun versteckt?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

So wird es nicht gehen. Da wir natürlich nicht alle Paare aufschreiben können, weil es unendlich viele sind, können wir nicht einfach raten, ob diese Zahl zufällig dabei ist oder nicht. Wir müssten eine Zahl finden, die sich von allen Zahlen rechts in der Tabelle unterscheidet, obwohl wir nicht wissen, welche Zahlen rechts alle stehen. Wie schaffen wir das?

Damit sich zwei Zahlen unterscheiden, genügt es, wenn sie sich in einer Ziffer unterscheiden. Zum Beispiel sind die Zahlen 0,123456 und 0,123457 nicht gleich – obwohl sie sich nur in einer Ziffer unterscheiden. Das genügt uns. Wir können also in unserer Tabelle bei der n-ten reellen Zahl immer die n-te Ziffer nach dem Komma hervorheben:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

und die neue Zahl so zusammensetzen, dass sie sich in der n-ten Ziffer nach dem Komma von der n-ten Ziffer der n-ten reellen Zahl unterscheidet. Die neue Zahl konstruieren wir also so, dass wir mit einer Null beginnen: 0,??? und die erste Ziffer nach dem Komma so wählen, dass sie sich von der ersten Ziffer der ersten reellen Zahl unterscheidet, also von der Drei. Wir schreiben zum Beispiel 0,1???. Die zweite Ziffer muss sich von der zweiten Ziffer der zweiten reellen Zahl unterscheiden, also muss sie von 9 verschieden sein. Wir schreiben zum Beispiel eine Zwei: 0,12???. Usw. Die ersten neun Ziffern könnten also so aussehen: 0,123123127 (siehe letzte Zeile der Tabelle):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Wir sehen, dass diese Zahl von allen Zahlen verschieden ist, denn von allen Zahlen unterscheidet sie sich immer in mindestens einer Ziffer. Obwohl unsere Tabelle unendlich viele Zahlen enthält, besteht unsere neue Zahl aus unendlich vielen Ziffern, und zwar so, dass sie sich von allen Zahlen in der Tabelle in mindestens einer Ziffer unterscheidet. Und beachte, dass wir unendlich viele Zahlen konstruieren können, die nicht in der Tabelle stehen! Was folgt daraus? Wir sind nicht in der Lage, die natürlichen Zahlen mit den reellen Zahlen zu paaren. Es bleiben uns immer unendlich viele reelle Zahlen übrig, die mit keiner natürlichen Zahl gepaart sind. Von den reellen Zahlen gibt es viel mehr als von den natürlichen Zahlen.

Anmerkungen zum Schluss

• Den ganzen Artikel über haben wir der Einfachheit halber die negativen Zahlen ignoriert. Die ändern aber natürlich nichts an der Sache, und als Hausaufgabe kannst du die hier genannten Paarungsstrategien so anpassen, dass sie auch mit negativen Zahlen funktionieren.
• Die Größe der Menge der natürlichen Zahlen hat sogar einen eigenen Namen. Wir nennen sie Aleph-null.
• In der Mathematik verwenden wir dann oft den Begriff Kardinalität oder Mächtigkeit einer Menge anstelle von „Größe der Menge“.