Κατανομή πιθανότητας

Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής μας δείχνει ποια είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει ακριβώς μια δεδομένη τιμή.

Κατανομή διακριτής μεταβλητής

Ας πάρουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, για παράδειγμα θα μπορούσαμε να παρακολουθούμε πόσα ποτήρια μπύρας πίνει κάθε μέρα ο Μπάμπουλας, ο μπεκρής της γειτονιάς. Παρακολουθώντας τον Μπάμπουλα έναν ολόκληρο μήνα φτιάξαμε τον παρακάτω πίνακα:

Βλέπουμε ότι στην αρχή του μήνα ο Μπάμπουλας ακόμη λιγάκι κρατιόταν, αλλά μετά έριχνε μια μπύρα μετά την άλλη. Και η εβδομάδα από την 11η ημέρα πρέπει να ήταν τρελή. Ας συμβολίσουμε αυτή την τυχαία διακριτή μεταβλητή με X. Τώρα θα μας ενδιαφέρει ποια είναι η πιθανότητα ο Μπάμπουλας να πιει μια τυχαία ημέρα του μήνα ακριβώς x ποτήρια μπύρας.

Πριν υπολογίσουμε την ίδια την πιθανότητα, κατασκευάζουμε ένα απλό γράφημα συχνοτήτων. Βρίσκουμε όλες τις ποσότητες ποτηριών που ήπιε ο Μπάμπουλας κάποια ημέρα και τις βάζουμε στο γράφημα συχνοτήτων. Για παράδειγμα δέκα ποτήρια ήπιε ο Μπάμπουλας συνολικά εννέα φορές, οπότε για την τιμή δέκα ποτήρια θα έχουμε μια στήλη με τιμή εννέα:

Το γράφημα το διαβάζουμε έτσι: ο Μπάμπουλας ήπιε έξι ποτήρια τρεις ημέρες τον μήνα.

Ποια είναι η πιθανότητα ο Μπάμπουλας να πιει μια ημέρα δέκα ποτήρια; Τυπικά θα το γράφαμε έτσι: τη συνάρτηση πιθανότητας τη συμβολίζουμε με P και το ερώτημα για δέκα ποτήρια θα το γράφαμε ως P(X = 10). Έτσι ρωτάμε ποια είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να πάρει την τιμή δέκα.

Η πιθανότητα θα είναι ίση με τη σχετική συχνότητα της δεδομένης τιμής. Κατασκευάζουμε λοιπόν ακόμη ένα γράφημα σχετικής συχνότητας:

Τώρα μπορούμε να πούμε ότι το P(X = 10) είναι ίσο με 0,3, δηλαδή 30%.

Στατιστική και μαθηματική πιθανότητα

Ας πάρουμε για παράδειγμα ένα κλασικό ζάρι. Ας δοκιμάσουμε να το ρίξουμε 600 φορές. Από την άποψη της κλασικής μαθηματικής πιθανότητας έχουμε ίση πιθανότητα να έρθει το ένα, το δύο, …, το έξι. Κάθε έδρα του ζαριού έχει πιθανότητα $\frac{1}{6}$. Καθαρά θεωρητικά λοιπόν κάθε πλευρά θα έπρεπε να έρθει ακριβώς εκατό φορές, αφού ρίξαμε το ζάρι εξακόσιες φορές.

Αυτό φυσικά πιθανότατα δεν θα συμβεί. Στο πείραμά μας μπορεί να πάρουμε τα εξής αποτελέσματα:

Βλέπουμε ότι η σχετική συχνότητα, και άρα και η πιθανότητα, να εμφανιστεί μία τελεία στο ζάρι είναι 0,175, δηλαδή 17,5%. Αυτό είναι μεν κοντά στην πιθανότητα $\frac{1}{6}$, δηλαδή 0,16666…, αλλά δεν είναι απόλυτα ακριβές.

Αυτό δεν σημαίνει ότι η μία ή η άλλη πιθανότητα είναι λανθασμένη. Δεν είναι καθόλου εύκολο να φτιάξεις ένα τέλεια ζυγισμένο ζάρι, και μπορεί να είναι δύσκολο και να γίνει το ίδιο το τεστ, όπου ρίχνουμε το ζάρι 600 φορές.

Η μαθηματική πιθανότητα λειτουργεί λοιπόν σε ιδανικές συνθήκες, όπου θα ρίχναμε το ζάρι επ' άπειρο. Όσο περισσότερο ρίχναμε ένα ιδανικά ζυγισμένο ζάρι, τόσο περισσότερο οι σχετικές συχνότητες των επιμέρους ρίψεων θα πλησίαζαν τη θεωρητική μαθηματική πιθανότητα.

Γι' αυτό ξεχωρίζουμε δύο πιθανότητες – τη μαθηματική, που προκύπτει από ιδεατές συνθήκες, και τη στατιστική (λέγεται και εμπειρική), που την υπολογίζουμε από τις σχετικές συχνότητες των δεδομένων μας.

Για να υπολογίσουμε τη στατιστική πιθανότητα, θα πρέπει να έχουμε στη διάθεσή μας αρκετά μεγάλο σύνολο δεδομένων. Για παράδειγμα τον μεθυσμένο μας Μπάμπουλα τον παρακολουθήσαμε μόνο έναν μήνα, θα ήταν όμως πολύ καλύτερα να τον παρακολουθούσαμε τουλάχιστον έναν χρόνο.

Κατανομή συνεχούς μεταβλητής

Στη συνεχή μεταβλητή δεν καθορίζουμε την πιθανότητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο, αλλά πάντα μόνο σε ένα διάστημα. Η πιθανότητα θα είναι ίση με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη, οπότε για τον υπολογισμό θα χρειαστούμε ολοκλήρωμα. Μπορούμε να έχουμε ένα τέτοιο γράφημα συνεχούς μεταβλητής, που μπορεί να αφορά για παράδειγμα τη μέτρηση κάποιας απόκλισης σε cm:

Στον άξονα x έχουμε λοιπόν τιμές σε cm, στον άξονα y σχετικές συχνότητες. Ας πούμε ότι μετρήσαμε μόνο τιμές στο διάστημα [−4, 4]. Η εμπειρική πιθανότητα να μετρήσουμε απόκλιση σε αυτό το διάστημα είναι λοιπόν 1, δηλαδή 100%.

Πώς σχετίζεται με αυτό το εμβαδόν; Λέμε ότι το εμβαδόν ${\int }_{-4}^{4}p(x)$ , όπου p είναι η συνάρτηση πιθανότητας, μας δίνει ακριβώς αυτό το 100%. Αν ρωτούσαμε ποια είναι η εμπειρική πιθανότητα η τιμή να είναι στο διάστημα [0, 4], θα παίρναμε μια τέτοια εικόνα:

Το προηγούμενο επισημασμένο τμήμα αντιστοιχούσε στο 100%, αυτό αντιστοιχεί στο 50%, επειδή το εμβαδόν είναι προφανώς το μισό. Με ακρίβεια τη στατιστική πιθανότητα θα την εκφράζαμε ως λόγο

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Νόμος των μεγάλων αριθμών

Με το προηγούμενο κεφάλαιο συνδέεται ο γνωστός νόμος των μεγάλων αριθμών. Αυτός λέει ανεπίσημα ότι σε μεγάλο πλήθος ανεξάρτητων πειραμάτων η σχετική συχνότητα (στατιστική πιθανότητα) θα πλησιάζει τη μαθηματική πιθανότητα.

Μπορούμε να το φανταστούμε πάλι με τη ρίψη ενός νομίσματος. Μπορεί να έρθει κορώνα ή γράμματα, κάθε πλευρά έχει πιθανότητα $\frac{1}{2}$, 50%. Αν ρίξουμε το νόμισμα τέσσερις φορές, μπορεί να έρθει τρεις φορές κορώνα και μία φορά γράμματα. Η σχετική συχνότητα είναι τότε $\frac{3}{4}$ και $\frac{1}{4}$. Αυτό είναι αρκετά μακριά από το $\frac{1}{2}$.

Αν ρίξουμε συνολικά δέκα φορές, μπορεί να έρθει επτά φορές κορώνα και τρεις φορές γράμματα. Αυτές είναι οι συχνότητες $\frac{7}{10}$ και $\frac{3}{10}$. Αυτό απέχει ακόμη από το $\frac{1}{2}$, αλλά οι αριθμοί αυτοί είναι πιο κοντά στο ένα δεύτερο από τις προηγούμενες συχνότητες.

Έτσι θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε. Αν ρίχναμε το νόμισμα χίλιες φορές, θα μπορούσε να έρθει 520 φορές κορώνα και 480 φορές γράμματα. Αυτές είναι οι συχνότητες $\frac{13}{25}$ και $\frac{12}{25}$, που πλησιάζουν ήδη πολύ το ένα δεύτερο (για να το φανταστείς, $\frac{13}{25}=0,52$).

Πρόσεξε ότι, παρόλο που οι σχετικές συχνότητες είναι πολύ πιο κοντά στο ένα δεύτερο, οι απόλυτες συχνότητες απέχουν από την «ιδανική» συχνότητα πολύ περισσότερο. Όταν ρίξαμε το νόμισμα δέκα φορές, η ιδανική απόλυτη συχνότητα για κάθε πλευρά ήταν 5. Δηλαδή να έρθει πέντε φορές κορώνα και πέντε φορές γράμματα. Επειδή η κορώνα ήρθε επτά φορές, προκύπτει διαφορά δύο ρίψεων: 7 − 5 = 2. Ρίξαμε «κατά δύο ρίψεις διαφορετικά» απ' ό,τι θα γινόταν στην ιδανική κατάσταση.

Όταν όμως ρίξαμε το νόμισμα χίλιες φορές, η κορώνα ήρθε 520 φορές, που δίνει διαφορά 20 ρίψεων από το ιδανικό, επειδή στην ιδανική περίπτωση κάθε πλευρά θα έπρεπε να έρθει 500 φορές. Θα φαινόταν λοιπόν ότι όσο περισσότερες φορές ρίχνουμε, τόσο πιο απομακρυσμένα αποτελέσματα παίρνουμε.

Αυτό όμως δεν πειράζει, ο νόμος των μεγάλων αριθμών δεν ισχυρίζεται ότι θα πλησιάζουν το ιδανικό οι απόλυτες συχνότητες, αλλά οι σχετικές. Και αυτές πλησιάζουν. Δηλαδή στις απόλυτες συχνότητες ίσως θα απομακρύνονται, αλλά στις σχετικές θα πλησιάζουν.