Συστήματα εξισώσεων

Στην πράξη συχνά συναντάμε την περίπτωση που δεν λύνουμε μία εξίσωση, αλλά δύο εξισώσεις ταυτόχρονα (ή και περισσότερες). Πρώτα θα δείξουμε πώς λύνουμε ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Για τη λύση συστημάτων εξισώσεων με πίνακες πήγαινε στο άρθρο συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Βασικά

Ένα σύστημα εξισώσεων αποτελείται από περισσότερες εξισώσεις, που τις λύνουμε μαζί. Σε ένα σύστημα εξισώσεων συνήθως έχουμε και περισσότερες από μία μεταβλητές και προσπαθούμε να βρούμε έναν τέτοιο συνδυασμό αριθμών, ώστε όταν τους αντικαταστήσουμε σε όλες τις μεταβλητές, όλες οι εξισώσεις να επαληθεύονται.

Παράδειγμα συστήματος εξισώσεων είναι το εξής σύστημα:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Το αποτέλεσμα αυτού του συστήματος πρέπει να είναι ένα ζεύγος (ή σύνολο ζευγών) αριθμών, που το αντικαθιστούμε στις μεταβλητές a και b, και οι δύο εξισώσεις να παραμένουν αληθείς. Κάπως με το μάτι βλέπουμε ότι η μεταβλητή a πρέπει να είναι ίση με −b, για να ισχύει η εξίσωση a + b = 0. Αν το ξέρουμε αυτό, τότε από τη δεύτερη εξίσωση εύκολα βλέπουμε ότι a = 10 και b = −10. Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Λοιπόν, τη λύση «με το μάτι» την τελειώσαμε, τώρα θα ασχοληθούμε με κάποιους λειτουργικούς αλγορίθμους για τη λύση συστημάτων εξισώσεων.

Μέθοδος της αντικατάστασης

Στη μέθοδο της αντικατάστασης εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους σε μία εξίσωση και αυτό το αποτέλεσμα το βάζουμε μετά στη δεύτερη εξίσωση. Για αρχή θα χρειαστούμε λοιπόν ένα σύστημα. Για παράδειγμα αυτό:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Αυτό είναι ένα απλό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τις μεταβλητές x και y έτσι, ώστε και οι δύο εξισώσεις να επαληθεύονται. Από την πρώτη εξίσωση θα απομονώσουμε το y. Παίρνουμε λοιπόν μόνο την πρώτη εξίσωση και απομονώνουμε το y.

$4 x + 2 y = 6$

Πρώτα αφαιρούμε το 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Διαιρούμε με το δύο:

$y = 3 - 2 x$

Τώρα ξέρουμε με τι είναι ίσο το y. Αυτό το αποτέλεσμα μπορούμε να το αντικαταστήσουμε στη μεταβλητή y της δεύτερης εξίσωσης. Δηλαδή στη δεύτερη εξίσωση αντί για y γράφουμε 3 − 2x. Τι πετυχαίνουμε με αυτό; Πετυχαίνουμε να μην έχουμε στη δεύτερη εξίσωση δύο μεταβλητές, αλλά μόνο μία, γιατί στη θέση της μεταβλητής y βάζουμε μια παράσταση που περιέχει μόνο τη μεταβλητή x. Αντικαθιστούμε λοιπόν:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Τώρα κάνουμε επιμερισμό στην παρένθεση και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Τώρα ξέρουμε την τιμή του x, που είναι ίση με δύο. Μένει να υπολογίσουμε την τιμή του y. Αυτό το κάνουμε αντικαθιστώντας την ήδη γνωστή τιμή του x σε κάποια εξίσωση που περιέχει και τις δύο μεταβλητές – και το x και το y. Μπορούμε να διαλέξουμε για παράδειγμα την πρώτη εξίσωση. Αντικαθιστούμε ως εξής:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Έτσι λύσαμε το σύστημα. Το σύστημα εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση, και αυτή είναι x = 2 και y = −1. Αν θέλεις να επαληθεύσεις αυτό το αποτέλεσμα, απλώς αντικατέστησε και στις δύο εξισώσεις. Αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Και αντικατάσταση στη δεύτερη εξίσωση:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Αυτή τη μέθοδο την προτιμώ, αλλά φυσικά εξαρτάται από το συγκεκριμένο παράδειγμα. Δεν ταιριάζει πάντα. Η αρχή της μεθόδου των αντίθετων συντελεστών είναι ότι η πρόσθεση εξισώσεων αποτελεί στη λύση συστημάτων εξισώσεων ισοδύναμη μετατροπή. Την πρόσθεση εξισώσεων την κάνουμε προσθέτοντας το πρώτο μέλος της μίας εξίσωσης με το πρώτο μέλος της άλλης εξίσωσης και μετά προσθέτοντας τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων. Ας έχουμε γενικά ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Προσθέτοντας αυτές τις εξισώσεις θα παίρναμε μία μόνο εξίσωση, που ορίζεται ως εξής:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Προσθέσαμε χωριστά τα πρώτα μέλη και χωριστά τα δεύτερα μέλη. Ποιος όμως θα είναι ο στόχος μας; Αν προσθέσουμε δύο εξισώσεις και μείνουν δύο μεταβλητές, δεν βοηθιόμαστε πολύ. Γι' αυτό προσπαθούμε, μετά την πρόσθεση και των δύο εξισώσεων, να εξαφανιστεί η μία μεταβλητή, δηλαδή να αφαιρεθούν αμοιβαία, να αλληλοαναιρεθούν. Προσπαθούμε λοιπόν το άθροισμα του ενός από τα ζεύγη συναρτήσεων, είτε των f είτε των g, να είναι μηδενικό:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Πώς το πετυχαίνουμε; Το σύστημα εξισώσεων περιέχει συνηθισμένες εξισώσεις, στις οποίες μπορούμε να εφαρμόσουμε ισοδύναμες μετατροπές εξισώσεων, όπως τις ξέρουμε από τους συνηθισμένους τύπους εξισώσεων. Γι' αυτό μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κάποια από τις εξισώσεις με έναν αριθμό και η ισχύς της εξίσωσης δεν αλλάζει. Θα δοκιμάσουμε λοιπόν να λύσουμε το προηγούμενο σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Η εκφώνηση είναι λοιπόν η ίδια:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Αν προσθέταμε τις εξισώσεις αμέσως, θα έμεναν και οι δύο μεταβλητές:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Γι' αυτό πρέπει πρώτα να εφαρμόσουμε κάποιες μετατροπές. Θα προσπαθήσουμε να «εξαφανίσουμε» τη μεταβλητή y. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται ο συντελεστής του y και στις δύο εξισώσεις να είναι ίσος, εκτός από το πρόσημο – αυτό πρέπει να είναι αντίθετο. Ψάχνουμε λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, που είναι το 6. Μια απλή διαδικασία είναι να πολλαπλασιάσουμε τους συντελεστές: δύο επί τρία κάνει έξι – ο αριθμός έξι διαιρείται σίγουρα και από τους δύο αριθμούς (σημείωση: αυτή η διαδικασία δεν εξασφαλίζει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, αλλά βρίσκει έναν αριθμό που διαιρείται και από τους δύο συντελεστές).

Τώρα προσπαθούμε να πάρουμε μπροστά από το y σε κάθε εξίσωση το έξι. Την πρώτη εξίσωση την πολλαπλασιάζουμε λοιπόν με το τρία, τη δεύτερη με το δύο:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Παίρνουμε:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Τώρα προσθέτουμε τις εξισώσεις:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Πήραμε έτσι μία εξίσωση με έναν άγνωστο, που ήδη ξέρουμε να λύνουμε εύκολα:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Βλέπουμε ότι βρήκαμε το ίδιο αποτέλεσμα όπως με την προηγούμενη μέθοδο, της αντικατάστασης. Τώρα θα αντικαθιστούσαμε πάλι το x σε κάποια εξίσωση και θα παίρναμε το αποτέλεσμα y = −1. Και η επαλήθευση θα γινόταν ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.

Πλήθος λύσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων δεν έχει απαραίτητα ακριβώς μία λύση. Μπορεί να έχει και άπειρες λύσεις ή αντίθετα καμία λύση. Εν συντομία για το πότε συμβαίνει αυτό. Αν έχουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους και μία από αυτές τις εξισώσεις μπορούμε να την εκφράσουμε μέσω της άλλης εξίσωσης, εφαρμόζοντας σε αυτήν κάποιες ισοδύναμες μετατροπές, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Παράδειγμα είναι το σύστημα

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Βλέπουμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με δύο, παίρνουμε ακριβώς τη δεύτερη εξίσωση. Η δεύτερη εξίσωση δεν μας δίνει έτσι καμία «νέα πληροφορία» για το σύστημα, οπότε είναι πρακτικά περιττή. Συνολικά αυτό φαίνεται στο ότι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης

$x + y = 2$

είναι ταυτόχρονα λύση ολόκληρου του συστήματος. Για παράδειγμα τα ζεύγη (1, 1) ή (−3, 5) είναι λύσεις της πρώτης εξίσωσης και ταυτόχρονα ολόκληρου του συστήματος.

Το σύστημα δεν έχει ούτε μία λύση, αν έχουμε στο σύστημα κάποιες αντικρουόμενες εξισώσεις, που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα το άθροισμα x + y να είναι ίσο και με δύο και με τέσσερα, γι' αυτό το σύστημα δεν έχει καμία λύση. Ακόμη μερικά παραδείγματα:

Πρώτο παράδειγμα

Λύσε το ακόλουθο σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Με μια πρόχειρη ματιά στο σύστημα βλέπουμε ότι ταιριάζει για τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Ο συντελεστής του x στη δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσιος από αυτόν στην πρώτη εξίσωση και ο συντελεστής του y στη δεύτερη εξίσωση είναι τριπλάσιος. Αρκεί λοιπόν να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση είτε με μείον δύο είτε με μείον τρία και να προσθέσουμε τις εξισώσεις. Θα δοκιμάσουμε να εξαφανίσουμε για παράδειγμα τη μεταβλητή x, οπότε πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με −2. Παίρνουμε:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Προσθέτουμε αυτές τις δύο εξισώσεις και παίρνουμε

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Έχουμε το πρώτο αποτέλεσμα του συστήματός μας. Αυτό το αποτέλεσμα το αντικαθιστούμε σε κάποια εξίσωση, μπορούμε πάλι να το αντικαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Έχουμε λοιπόν τη λύση του συστήματος εξισώσεων, x = 9 και y = −14.

Δεύτερο παράδειγμα

Λύσε το ακόλουθο σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Αυτό φαίνεται λίγο άγριο, αλλά θα βγει. Πρώτα απ' όλα πρέπει να κάνουμε επιμερισμό στις παρενθέσεις, χωρίς αυτό δεν θα πάμε πουθενά.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Τώρα φέρνουμε τις εξισώσεις σε πιο χρήσιμη μορφή, μεταφέρουμε τις μεταβλητές στο πρώτο μέλος της εξίσωσης και τους σταθερούς όρους στο δεύτερο, και κάνουμε επιπλέον αναγωγή ομοίων όρων.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Τώρα από τις άσχημες εξισώσεις πήραμε ένα αρκετά χρήσιμο σύστημα εξισώσεων και μπορούμε να εφαρμόσουμε κάποια από τις κλασικές διαδικασίες. Μπορούμε για παράδειγμα να πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με δύο και να την προσθέσουμε στην πρώτη εξίσωση. Μετά τον πολλαπλασιασμό της δεύτερης εξίσωσης με δύο παίρνουμε:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Τώρα προσθέτουμε και τις δύο εξισώσεις με την κλασική μέθοδο των αντίθετων συντελεστών:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Τέλεια, ξέρουμε ήδη το ένα αποτέλεσμα. Αυτό το αποτέλεσμα το αντικαθιστούμε σε κάποια από τις εξισώσεις και υπολογίζουμε το y. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε για παράδειγμα στην εξίσωση 2x− 3y = −13 και παίρνουμε:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Τώρα έχουμε πια το πλήρες αποτέλεσμα του συστήματος εξισώσεων – έχει λύση στην περίπτωση που x = 4 και y = 7.

« Προηγούμενο: Τριγωνομετρικές ανισώσεις

Επόμενο: Αριθμοί »