Αραίωση και ανάμειξη διαλυμάτων

Ένα διάλυμα προκύπτει όταν, για παράδειγμα, διαλύσουμε αιθανόλη σε νερό. Παίρνουμε ένα ομογενές μείγμα, που αποτελείται από τη διαλυμένη ουσία (αιθανόλη) και τον διαλύτη (νερό). Συνήθως με τον όρο διάλυμα εννοούμε διάλυμα σε υγρή κατάσταση, αλλά γενικά μπορούμε να έχουμε και διάλυμα δύο στερεών ουσιών, για παράδειγμα το κράμα του μπρούντζου.

Συγκέντρωση του διαλύματος

Η συγκέντρωση μας λέει πόση διαλυμένη ουσία περιέχεται στο διάλυμα. Έχουμε αρκετούς τρόπους να εκφράσουμε τη συγκέντρωση:

Κατά βάρος: πόσα γραμμάρια διαλυμένης ουσίας περιέχονται σε 100 g διαλύματος.
Κατ' όγκο: πόσα χιλιοστόλιτρα διαλυμένης ουσίας περιέχονται σε 100 ml διαλύματος.
Ποσοστιαία: πόσα τοις εκατό διαλυμένης ουσίας περιέχει το διάλυμα, για παράδειγμα μπορούμε να έχουμε διάλυμα 40%, που σημαίνει ότι υπάρχουν 40 ml ουσίας ανά 100 ml διαλύματος.

Ποια συγκέντρωση θα είχε ένα διάλυμα νερού και αιθανόλης, αν είχαμε 500 ml αυτού του διαλύματος και από αυτά τα 150 ml ήταν αιθανόλη; Για να βρούμε την κατ' όγκο συγκέντρωση, πρέπει να ξέρουμε πόσα ml περιέχονται σε 100 ml. Εμείς όμως ξέρουμε πόσα ml περιέχονται σε μισό λίτρο. Μπορούμε να βοηθηθούμε από τη μέθοδο των τριών. Πρώτα υπολογίζουμε πόση αιθανόλη θα υπήρχε σε 1 ml διαλύματος, κάτι που κάνουμε διαιρώντας την ποσότητα της αιθανόλης με το 500:

$\frac{150 ml}{500} = 0, 3 ml$

Αφού ξέρουμε την ποσότητα αιθανόλης σε 1 ml, βρίσκουμε την ποσότητα σε 100 ml πολλαπλασιάζοντας αυτή την ποσότητα επί 100:

$0, 3 ml \cdot 100 = 30 ml$

Το διάλυμα έχει λοιπόν συγκέντρωση 30 ml αιθανόλης ανά 100 ml. Πρόκειται δηλαδή για διάλυμα 30%.

Εξίσωση ανάμειξης

Με την εξίσωση ανάμειξης μπορούμε να υπολογίσουμε τη συγκέντρωση του διαλύματος που προκύπτει αν αναμείξουμε δύο διαφορετικά διαλύματα. Ας φανταστούμε ότι έχουμε δύο διαλύματα:

διάλυμα 500 ml, που περιέχει 30% αιθανόλη,
διάλυμα 400 ml, που περιέχει 20% αιθανόλη.

Ποια συγκέντρωση θα έχει το διάλυμα που θα πάρουμε, αν αναμείξουμε αυτά τα διαλύματα; Ονομάζουμε V₁ = 500 τον όγκο του πρώτου διαλύματος, V₂ = 400 τον όγκο του δεύτερου διαλύματος και V = V₁ + V₂ τον όγκο του τελικού διαλύματος.

Στη συνέχεια θα χρειαστούμε το λεγόμενο κατ' όγκο κλάσμα, που είναι απλώς η ποσοστιαία έκφραση της συγκέντρωσης που μετατρέπεται σε μορφή κλάσματος. Το πρώτο διάλυμα συγκέντρωσης 30% έχει λοιπόν κατ' όγκο κλάσμα $c_{1} = \frac{30}{100}$ και το δεύτερο διάλυμα συγκέντρωσης 20% έχει κατ' όγκο κλάσμα $c_{2} = \frac{20}{100}$ . (Αν δουλεύαμε με γραμμάρια αντί για λίτρα, θα είχαμε κατά βάρος κλάσματα, η αρχή θα ήταν η ίδια.) Το τελικό διάλυμα ας έχει κατ' όγκο κλάσμα c. Τώρα μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση ανάμειξης:

$c_{1} \cdot V_{1} + c_{2} \cdot V_{2} = c \cdot V$

Σε αυτή την εξίσωση ο μοναδικός άγνωστος είναι η τελική συγκέντρωση c. Όλες τις τιμές στο πρώτο μέλος τις ξέρουμε από την εκφώνηση και τον τελικό όγκο V τον ξέρουμε επίσης, είναι απλώς το άθροισμα των όγκων V₁ και V₂:

$c_{1} \cdot V_{1} + c_{2} \cdot V_{2} = c \cdot (V_{1} + V_{2})$

Αντικαθιστούμε συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις μεταβλητές:

$\frac{30}{100} \cdot 500 + \frac{20}{100} \cdot 400 = c \cdot (500 + 400)$

Στο πρώτο μέλος υπολογίζουμε τώρα τα γινόμενα των κλασμάτων και στο δεύτερο μέλος απλώς προσθέτουμε τους όγκους:

$150 + 80 = c \cdot 900$

Τώρα διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 900, οπότε στο δεύτερο μέλος μένει μόνο η τελική συγκέντρωση c:

$\frac{150 + 80}{900} = c$

Κάνουμε την πρόσθεση στον αριθμητή και απλώς εναλλάσσουμε το πρώτο και το δεύτερο μέλος της εξίσωσης ανάμειξης (συνήθως θέλουμε τον άγνωστο αριστερά):

$c = \frac{230}{900}$

Αυτό είναι το τελικό κατ' όγκο κλάσμα. Αν θέλουμε να το εκφράσουμε ως λόγο, υπολογίζουμε 230 διά 900:

$\frac{230}{900} = 0,255 555 \dots$

Την έκφραση σε ποσοστό τη βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον λόγο επί 100, οπότε παίρνουμε περίπου 25,6%. Το τελικό διάλυμα θα έχει συγκέντρωση περίπου 25,6%, δηλαδή περίπου 25,6 ml αιθανόλης ανά 100 ml.

Με τι να αραιώσουμε για να πάρουμε το επιθυμητό διάλυμα;

Μπορεί όμως να χρειαστεί να απαντήσουμε και σε ένα λίγο διαφορετικό ερώτημα. Έστω πάλι ένα διάλυμα 500 ml που περιέχει 30% αιθανόλη και ένα δεύτερο διάλυμα που περιέχει 55% αιθανόλη. Πόσα ml από το δεύτερο διάλυμα πρέπει να αναμείξουμε με το πρώτο, για να πάρουμε διάλυμα 40%; Χρησιμοποιούμε πάλι την εξίσωση ανάμειξης

$c_{1} \cdot V_{1} + c_{2} \cdot V_{2} = c \cdot (V_{1} + V_{2})$

Ο μοναδικός άγνωστος είναι το V₂, όλα τα άλλα τα ξέρουμε. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, ξέρουμε το $c = \frac{40}{100}$ , γιατί ξέρουμε ποιο διάλυμα θέλουμε να φτιάξουμε. Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές στην εξίσωση ανάμειξης:

$\frac{30}{100} \cdot 500 + \frac{55}{100} \cdot V_{2} = \frac{40}{100} (500 + V_{2})$

Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση επί 100:

$30 \cdot 500 + 55 \cdot V_{2} = 40 \cdot (500 + V_{2})$

Υπολογίζουμε το γινόμενο στο πρώτο μέλος και εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα στο δεύτερο μέλος:

$15000 + 55 \cdot V_{2} = 40 \cdot 500 + 40 \cdot V_{2}$

Αφαιρούμε 15000 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης:

$55 \cdot V_{2} = 40 \cdot 500 + 40 \cdot V_{2} - 15000$

Αφαιρούμε 40 · V₂ και από τα δύο μέλη της εξίσωσης:

$55 \cdot V_{2} - 40 \cdot V_{2} = 40 \cdot 500 - 15000$

Προσθέτουμε/αφαιρούμε ό,τι μπορούμε:

$15 \cdot V_{2} = 20000 - 15000$

Κάνουμε την αφαίρεση στο δεύτερο μέλος:

$15 \cdot V_{2} = 5000$

Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 15:

$V_{2} = \frac{5000}{15} = 333,333 \dots$

Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε περίπου 333 ml (το ένα τρίτο του λίτρου) από το δεύτερο διάλυμα 55%, για να πάρουμε διάλυμα συγκέντρωσης 40%. Μπορούμε να ελέγξουμε αν οι υπολογισμοί μας είναι σωστοί. Το πρώτο διάλυμα των 500 ml περιείχε 30% αιθανόλη, δηλαδή περιείχε 150 ml αιθανόλης. Αν προσθέσουμε 333 ml από το δεύτερο διάλυμα 55%, αυτό περιέχει 183 ml αιθανόλης. Τελικά πήραμε διάλυμα όγκου 500 ml + 333 ml, δηλαδή 833 ml, που περιέχει 150 ml + 183 ml, δηλαδή 333 ml αιθανόλης. Αν υπολογίσουμε το πηλίκο

$\frac{333}{833} \approx 0, 4$

Πήραμε (μετά από στρογγυλοποίηση) διάλυμα αιθανόλης και νερού 40%.

« Προηγούμενο: Μέση κατανάλωση αυτοκινήτου

Επόμενο: Γιατί εναλλάσσονται οι εποχές »