Υπάρχουν περισσότεροι άρτιοι ή περιττοί αριθμοί;
Τι νομίζεις, ποιοι αριθμοί είναι περισσότεροι; Οι άρτιοι ή οι περιττοί; Ή μήπως είναι ο ίδιος αριθμός; Πώς θα μπορούσαμε να το κρίνουμε; Και τι γίνεται με τους άλλους αριθμούς; Υπάρχουν περισσότεροι άρτιοι αριθμοί ή φυσικοί αριθμοί; Φυσικοί ή ρητοί αριθμοί; Δεν είναι καθόλου απλό, γιατί όλοι οι αριθμοί που αναφέρθηκαν είναι άπειροι στο πλήθος. Παρ' όλα αυτά μπορούμε να τους συγκρίνουμε και να βρούμε ποιοι είναι περισσότεροι και ποιοι λιγότεροι.
Ας το δείξουμε πρώτα σε ένα μικρό σύνολο αριθμών. Φαντάσου δύο σύνολα αριθμών: τους μπλε και τους κόκκινους αριθμούς:
Μπορούμε να πούμε με κάποιον τρόπο ποιοι αριθμοί είναι περισσότεροι; Οι κόκκινοι ή οι μπλε; Βλέπουμε καθαρά ότι… Τι; Ότι είσαι δαλτονικός και δεν το βλέπεις καθαρά; Εντάξει, από δω και πέρα θα δείχνουμε τους κόκκινους αριθμούς και ως τετραγωνάκια:
Ωραία, τώρα βλέπουμε καθαρά ότι οι μπλε αριθμοί είναι περισσότεροι από τους κόκκινους. Ήταν εύκολο, επειδή δουλεύουμε με πεπερασμένα σύνολα αριθμών, άρα μπορούμε να τα μετρήσουμε. Βλέπουμε ότι έχουμε έξι μπλε αριθμούς και μόνο τρεις κόκκινους. Με τα άπειρα σύνολα τα πράγματα δεν θα είναι τόσο απλά, γιατί δεν μπορούμε να τα μετρήσουμε. Ας απαντήσουμε λοιπόν στο ερώτημα του τίτλου: υπάρχουν περισσότεροι άρτιοι ή περιττοί αριθμοί; Για λόγους απλότητας ας μείνουμε στους θετικούς αριθμούς. Φαντάσου ένα σακί γεμάτο με όλους τους περιττούς και ένα σακί γεμάτο με όλους τους άρτιους αριθμούς. Ποιο σακί είναι μεγαλύτερο;
Λοιπόν, δεν είναι και τόσο εύκολο να φανταστείς άπειρους αριθμούς, και ακόμη πιο δύσκολο είναι να τους μετρήσεις. Δεν υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος να συγκρίνουμε το μέγεθος των συνόλων;
Σύγκριση δύο πεπερασμένων συνόλων
Φαντάσου ότι έχουμε ένα σακί γεμάτο γαμπρούς και ένα σακί γεμάτο νύφες. Αν για κάθε γαμπρό έχουμε μία νύφη και για κάθε νύφη έναν γαμπρό, μπορούμε να πούμε ότι έχουμε ίσο πλήθος γαμπρών και νυφών:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Το βλέπεις; Κάθε νύφη της πρώτης γραμμής έχει τον δικό της σύζυγο στη δεύτερη γραμμή και αντίστροφα – κάθε σύζυγος έχει τη δική του σύζυγο. Θα μπορούσε όμως να συμβεί και διαφορετικά: κάθε νύφη να έχει τον σύζυγό της, αλλά όχι κάθε γαμπρός να έχει νύφη:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Κάθε νύφη έχει γαμπρό, αλλά ένας γαμπρός μένει στεναχωρημένος και χωρίς νύφη. Όταν περισσεύει ένας γαμπρός, μπορούμε να πούμε ότι έχουμε περισσότερους γαμπρούς παρά νύφες. Αντίστοιχα, αν περισσεύει μία νύφη
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
τότε μπορούμε να πούμε ότι έχουμε περισσότερες νύφες παρά γαμπρούς.
Σύγκριση δύο άπειρων συνόλων
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθοδο για να συγκρίνουμε δύο άπειρα σύνολα; Μπορούμε να ταιριάξουμε κάθε περιττό αριθμό με κάποιον άρτιο και κάθε άρτιο με κάποιον περιττό, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κανέναν αριθμό περισσότερες από μία φορές; Μπορούμε! Κάθε περιττό αριθμό n μπορούμε να τον ταιριάξουμε με τον άρτιο αριθμό n + 1. Δηλαδή τον αριθμό 5 τον ταιριάζουμε με τον 5 + 1, τον 149 με τον 150 κ.ο.κ. Το ταίριασμα το δείχνει η παρακάτω κινούμενη εικόνα:
Για κάθε περιττό κόκκινο αριθμό έχουμε έναν αντίστοιχο μοναδικό μπλε άρτιο και για κάθε άρτιο μπλε αριθμό έναν αντίστοιχο μοναδικό κόκκινο περιττό. Καταφέραμε να ταιριάξουμε όλους τους περιττούς με όλους τους άρτιους. Αυτό όμως σημαίνει ότι οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί είναι ίσοι σε πλήθος!
Εντάξει, αυτό δεν ήταν και τόσο εκπληκτικό, έτσι; Ας συγκρίνουμε άλλα σύνολα αριθμών: όλους τους φυσικούς αριθμούς με τους άρτιους. Εδώ το αποτέλεσμα θα είναι πιο σοκαριστικό.
Υπάρχουν περισσότεροι φυσικοί ή άρτιοι αριθμοί;
Ποιοι αριθμοί είναι περισσότεροι; Οι φυσικοί ή οι άρτιοι;
Προφανώς βλέπουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί περιέχουν όλους τους άρτιους. Και εκτός από αυτούς, οι φυσικοί περιέχουν και κάποιους επιπλέον αριθμούς – τους περιττούς. Είναι λοιπόν σαφές ότι οι φυσικοί πρέπει να είναι περισσότεροι – περιέχουν μάλιστα διπλάσιους αριθμούς!
Ναι, μακάρι η ζωή να ήταν τόσο απλή!
Εμάς δεν μας ενδιαφέρει αν ένα σύνολο αριθμών περιέχει κάποιους επιπλέον αριθμούς. Μας ενδιαφέρει αν μπορούμε με κάποιον τρόπο να ταιριάξουμε τους αριθμούς δύο διαφορετικών συνόλων. Μπορούμε να ταιριάξουμε κάθε άρτιο αριθμό με κάθε φυσικό αριθμό; Παρόλο που οι φυσικοί είναι περισσότεροι; Βέβαια και μπορούμε.
Κάθε φυσικό αριθμό p μπορούμε απλά να τον ταιριάξουμε με τον άρτιο αριθμό 2 · p και αντίστροφα – κάθε άρτιο αριθμό n μπορούμε να τον ταιριάξουμε με τον φυσικό αριθμό n / 2. Έτσι τον φυσικό αριθμό 5 τον ταιριάζουμε με τον άρτιο 10 και τον άρτιο 14 με τον φυσικό 7 κ.ο.κ. Το ταίριασμα για τους πρώτους αριθμούς το δείχνει η παρακάτω κινούμενη εικόνα:
Ξαφνικά έχουμε για κάθε φυσικό αριθμό έναν μοναδικό άρτιο και για κάθε άρτιο έναν μοναδικό φυσικό! Και τι πειράζει που οι φυσικοί είναι περισσότεροι; Και οι δύο είναι άπειροι και δεν θα μας τελειώσουν ποτέ. Από τη δική μας οπτική γωνία, λοιπόν, το σύνολο των άρτιων αριθμών είναι ίσο σε μέγεθος με το σύνολο των φυσικών αριθμών! 😱
Είναι λίγο αντιδιαισθητικό, αλλά έτσι είναι.
Υπάρχουν περισσότεροι φυσικοί ή ρητοί αριθμοί;
Οι ρητοί αριθμοί είναι κλάσματα. Όλοι οι αριθμοί που γράφονται στη μορφή p/q, όπου οι p και q είναι ακέραιοι και q ≠ 0, είναι ρητοί αριθμοί. Για παράδειγμα οι ½, ¾ ή 8 είναι ρητοί αριθμοί, αλλά ο π δεν είναι ρητός. Οι ρητοί αριθμοί είναι πολύ περισσότεροι από τους φυσικούς. Για παράδειγμα, ανάμεσα στους αριθμούς 2 και 4 υπάρχει ένας μόνο ακέραιος, ο 3, αλλά άπειροι ρητοί. Άπειροι ρητοί υπάρχουν μάλιστα και ανάμεσα στους 0,001 και 0,002. Τόσο πολλοί είναι οι ρητοί αριθμοί!
Θα περίμενε λοιπόν κανείς ότι το σύνολο των ρητών αριθμών πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών. Όμως όλοι κάπως υποψιαζόμαστε ότι εδώ κρύβεται κάποια παγίδα. Εντάξει, ας δοκιμάσουμε να ταιριάξουμε τους ρητούς με τους φυσικούς αριθμούς. Θα ξεκινήσουμε γράφοντας τους ρητούς αριθμούς σε έναν πίνακα σαν αυτόν:
Το μοτίβο πρέπει να είναι σαφές: όλα τα κλάσματα της πρώτης γραμμής έχουν στον αριθμητή (πάνω από την κλασματική γραμμή) το ένα και στον παρονομαστή τους διαδοχικά αυξανόμενους αριθμούς 1, 2, 3 κ.λπ. Στη στήλη συμβαίνει το αντίστροφο. Αν συνεχίζαμε επ' άπειρον, θα είχαμε σε αυτόν τον πίνακα όλα τα κλάσματα που υπάρχουν. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1478/517 βρίσκεται στη γραμμή 1478 και στη στήλη 517. Ας δημιουργήσουμε τώρα τη συνάρτηση ταιριάσματος. Θα μπορούσαμε να το κάνουμε ως εξής:
- Τον φυσικό αριθμό 1 τον ταιριάζουμε με το πρώτο κλάσμα της πρώτης γραμμής, δηλαδή με το 1/1
- Τον φυσικό αριθμό 2 τον ταιριάζουμε με το δεύτερο κλάσμα της πρώτης γραμμής, δηλαδή με το 1/2
- Τον φυσικό αριθμό 3 τον ταιριάζουμε με το τρίτο κλάσμα της πρώτης γραμμής, δηλαδή με το 1/3
- Τον φυσικό αριθμό 4 τον ταιριάζουμε με το τέταρτο κλάσμα της πρώτης γραμμής, δηλαδή με το 1/4
- …
Καταφέραμε έτσι να ταιριάξουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς; Ναι. Κάθε φυσικός αριθμός έχει το αντίστοιχό του. Ο φυσικός 174 έχει για αντίστοιχο το κλάσμα 1/174. Ισχύει όμως και το αντίστροφο; Έχει κάθε κλάσμα το αντίστοιχό του στους φυσικούς αριθμούς; Ποιο είναι το αντίστοιχο του κλάσματος 2/3; Κανένα, γιατί με τη συνάρτηση ταιριάσματός μας δεν φτάσαμε ποτέ στη δεύτερη γραμμή. Καταφέραμε να ταιριάξουμε μόνο την πρώτη γραμμή των κλασμάτων.
Σημαίνει αυτό ότι οι ρητοί αριθμοί είναι περισσότεροι από τους φυσικούς; Δυστυχώς όχι – το ότι δεν δουλεύει μία στρατηγική ταιριάσματος δεν σημαίνει ότι δεν θα δουλέψει κάποια άλλη. Ας δοκιμάσουμε αυτή τη φορά να πάρουμε τις διαγωνίους:
- Τον φυσικό αριθμό 1 τον ταιριάζουμε με το κλάσμα 1/1 (πρώτη διαγώνιος),
- τον φυσικό αριθμό 2 με το κλάσμα 1/2 (δεύτερη διαγώνιος),
- τον φυσικό αριθμό 3 με το κλάσμα 2/1 (δεύτερη διαγώνιος),
- τον φυσικό αριθμό 4 με το κλάσμα 1/3 (τρίτη διαγώνιος),
- τον φυσικό αριθμό 5 με το κλάσμα 2/2 (τρίτη διαγώνιος),
- τον φυσικό αριθμό 6 με το κλάσμα 3/1 (τρίτη διαγώνιος),
- κ.ο.κ.
Τις στρατηγικές ταιριάσματος μπορείς να τις δεις στην κινούμενη εικόνα:
Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να καλύψουμε όλα τα κλάσματα. Καμία διαγώνιος δεν είναι άπειρη, άρα σε καμία διαγώνιο δεν θα «κολλήσουμε» για πάντα. Στο τέλος κάθε κλάσμα θα έχει αντιστοιχισμένο κάποιον φυσικό αριθμό και φυσικά κάθε φυσικός αριθμός θα έχει αντιστοιχισμένο κάποιο μοναδικό κλάσμα.
Λοιπόν… στην πραγματικότητα όχι ακριβώς. Αν κοιτάξουμε ξανά τον πίνακα με τα κλάσματα, θα δούμε ότι πολλοί αριθμοί επαναλαμβάνονται. Για παράδειγμα, τα κλάσματα 1/1, 2/2, 3/3 κ.λπ. παριστάνουν τον ίδιο αριθμό – τον αριθμό 1. Ομοίως, τα κλάσματα 1/2, 2/4 και 3/6 παριστάνουν το ένα δεύτερο. Στην πραγματικότητα λοιπόν οι φυσικοί αριθμοί 1, 5, 13 κ.λπ. αντιστοιχίζονται στον ίδιο ρητό αριθμό 1! Έχουμε αρκετούς γαμπρούς που παντρεύονται την ίδια νύφη. Αυτό δεν γίνεται!
Ευτυχώς μπορούμε να το διορθώσουμε εύκολα. Απλώς θα διαγράψουμε από τον πίνακά μας όλα τα κλάσματα που δεν είναι ανάγωγα, δηλαδή όλα τα κλάσματα που μπορούν να απλοποιηθούν. Μετά τη διαγραφή θα μείνουν στον πίνακα μόνο μοναδικοί ρητοί αριθμοί και το κόλπο μας με τις διαγωνίους θα δουλέψει. Κάθε φυσικός αριθμός θα ταιριαστεί με έναν μοναδικό ρητό αριθμό και αντίστροφα.
Αυτό όμως σημαίνει ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ίσο σε μέγεθος με το σύνολο των ρητών αριθμών!
Μέχρι εδώ φαίνεται ότι όλα τα άπειρα σύνολα είναι ίσα σε μέγεθος. Υπάρχει κάποιο άπειρο σύνολο που να είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών αριθμών;
Υπάρχουν περισσότεροι φυσικοί ή πραγματικοί αριθμοί;
Μπαίνει στο παιχνίδι η τελευταία μας ελπίδα: οι πραγματικοί αριθμοί. Άλλους αριθμούς στον άξονα των πραγματικών αριθμών δεν έχουμε. Πώς είναι οι πραγματικοί αριθμοί; Οι πραγματικοί αριθμοί περιέχουν όλους τους ρητούς και επιπλέον όλους τους άρρητους. Αν γράψουμε έναν αριθμό σε δεκαδική μορφή, τότε ένας ρητός αριθμός:
- έχει είτε πεπερασμένη δεκαδική παράσταση, π.χ. 0,4841554,
- είτε άπειρη περιοδική παράσταση: 0,1313131313…
Οι άρρητοι αριθμοί αντίθετα έχουν πάντα άπειρη δεκαδική παράσταση, η οποία μάλιστα δεν είναι περιοδική. Άρρητος αριθμός είναι για παράδειγμα ο π, που ισούται με 3,141592653… (καμία περίοδος). Ας πούμε εκ των προτέρων ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι πολύ περισσότεροι από τους ρητούς και άρα και από τους φυσικούς. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Και πώς θα το αποδείξουμε;
Φαντάσου ότι βρήκαμε κάποια στρατηγική ταιριάσματος για να ταιριάξουμε όλους τους φυσικούς με όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Ας πούμε ότι είναι η εξής:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Ας υποθέσουμε ότι αριστερά έχουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς και δεξιά όλους τους πραγματικούς. Αν αυτό ίσχυε, δεν θα μπορούσαμε να βρούμε κανέναν πραγματικό αριθμό που να λείπει από τη δεξιά πλευρά. Επειδή όμως έχουμε ήδη μαρτυρήσει ότι το σύνολο των πραγματικών είναι μεγαλύτερο, αυτό σημαίνει ότι στη δεξιά πλευρά κάποιος αριθμός λείπει. Ναι, αλλά ποιος; Για παράδειγμα, βλέπουμε ότι λείπει ο αριθμός 0,4818063607183678. Αλλά τι γίνεται αν κρύβεται ακριβώς κάτω από τον αριθμό 8;
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
Και ο αριθμός 0,4208424736008147; Ούτε αυτόν τον βλέπουμε. Αλλά τι γίνεται αν κρύβεται ακριβώς κάτω από τον αριθμό εννιά;
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Έτσι δεν θα τα καταφέρουμε. Επειδή φυσικά δεν μπορούμε να γράψουμε όλα τα ζεύγη, αφού είναι άπειρα, δεν μπορούμε να μαντεύουμε στην τύχη αν κάποιος αριθμός υπάρχει εκεί ή όχι. Θα χρειαζόταν να βρούμε έναν αριθμό που διαφέρει από όλους τους αριθμούς της δεξιάς στήλης του πίνακα, παρότι δεν ξέρουμε ποιοι είναι όλοι οι αριθμοί στα δεξιά. Πώς θα το καταφέρουμε;
Για να διαφέρουν δύο αριθμοί, αρκεί να διαφέρουν σε ένα ψηφίο. Για παράδειγμα οι αριθμοί 0,123456 και 0,123457 δεν είναι ίδιοι – παρότι διαφέρουν μόνο σε ένα ψηφίο. Αυτό μας αρκεί. Μπορούμε λοιπόν στον πίνακά μας να επισημάνουμε πάντα στον n-οστό πραγματικό αριθμό το n-οστό ψηφίο μετά την υποδιαστολή:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
και να συνθέσουμε τον νέο αριθμό έτσι ώστε στο n-οστό ψηφίο μετά την υποδιαστολή να διαφέρει από το n-οστό ψηφίο του n-οστού πραγματικού αριθμού. Τον νέο αριθμό τον κατασκευάζουμε λοιπόν ξεκινώντας από το μηδέν: 0,??? και το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή το επιλέγουμε έτσι ώστε να διαφέρει από το πρώτο ψηφίο του πρώτου πραγματικού αριθμού, δηλαδή να διαφέρει από το τρία. Γράφουμε για παράδειγμα 0,1???. Το δεύτερο ψηφίο πρέπει να είναι διαφορετικό από το δεύτερο ψηφίο του δεύτερου πραγματικού αριθμού, δηλαδή να διαφέρει από το 9. Γράφουμε για παράδειγμα δύο: 0,12???. Κ.ο.κ. Τα πρώτα εννιά ψηφία θα μπορούσαν λοιπόν να είναι τα εξής: 0,123123127 (δες την τελευταία γραμμή του πίνακα):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Βλέπουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι διαφορετικός από όλους τους αριθμούς, επειδή από τον καθένα διαφέρει τουλάχιστον σε ένα ψηφίο. Παρότι ο πίνακάς μας περιέχει άπειρους αριθμούς, ο νέος μας αριθμός αποτελείται από άπειρα ψηφία που επιλέχθηκαν έτσι ώστε να διαφέρει από όλους τους αριθμούς του πίνακα τουλάχιστον σε ένα ψηφίο. Και πρόσεξε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρους αριθμούς που δεν βρίσκονται στον πίνακα! Τι προκύπτει από αυτό; Δεν μπορούμε να ταιριάξουμε τους φυσικούς αριθμούς με τους πραγματικούς. Πάντα θα μας μένουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί που δεν θα ταιριάζουν με κανέναν φυσικό. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πολύ περισσότεροι από τους φυσικούς.
Σημειώσεις στο τέλος
- Σε όλο το άρθρο, για λόγους απλότητας, αγνοήσαμε τους αρνητικούς αριθμούς. Αυτοί φυσικά δεν αλλάζουν το συμπέρασμα και για εργασία στο σπίτι μπορείς να προσαρμόσεις τις στρατηγικές ταιριάσματος που αναφέρθηκαν εδώ, ώστε να δουλεύουν και με αρνητικούς αριθμούς.
- Το μέγεθος του συνόλου των φυσικών αριθμών έχει μάλιστα δικό του όνομα. Το λέμε άλεφ μηδέν.
- Στα μαθηματικά χρησιμοποιούμε συχνά τον όρο πληθάριθμος συνόλου αντί για «μέγεθος του συνόλου».
