Distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria nos indica cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria tome precisamente un valor dado.

Distribución de una variable discreta

Tomemos una variable aleatoria discreta; por ejemplo, podríamos observar cuántos refrescos bebe al día Paco, el sediento más famoso del barrio. Observando a Paco durante un mes entero hemos construido la siguiente tabla:

Vemos que a principios de mes Paco todavía se controlaba un poco, pero luego se bebía un refresco tras otro. Y esa semana a partir del día 11 tuvo que ser una locura. Denotemos esta variable aleatoria discreta X. Ahora nos interesará cuál es la probabilidad de que Paco beba en un día cualquiera del mes precisamente x refrescos.

Antes de calcular la probabilidad en sí, construiremos un gráfico de frecuencias corriente. Buscamos todas las cantidades de refrescos que Paco bebió en algún día y las representamos en un gráfico de frecuencias. Por ejemplo, diez refrescos bebió Paco en total nueve veces, así que para el valor diez refrescos tendremos una columna con el valor nueve:

El gráfico se lee así: Paco bebió seis refrescos tres días del mes.

¿Cuál es la probabilidad de que Paco bebiera diez refrescos en un día? Formalmente lo escribiríamos así: la función de probabilidad la denotamos P y la pregunta por diez refrescos la escribiríamos así: P(X = 10). Con ello preguntamos cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor diez.

La probabilidad será igual a la frecuencia relativa de ese valor. Así que construimos también el gráfico de frecuencia relativa:

Ahora podemos decir que P(X = 10) es igual a 0,3, es decir, un 30 %.

Probabilidad estadística frente a probabilidad matemática

Tomemos como ejemplo un dado clásico. Probemos a lanzarlo 600 veces. Desde el punto de vista de la probabilidad matemática clásica, tenemos la misma probabilidad de que salga el uno, el dos, …, el seis. Cada cara del dado tiene probabilidad $\frac{1}{6}$ al lanzarlo. Puramente en teoría, cada cara debería salir exactamente cien veces cuando lanzamos el dado seiscientas veces.

Por supuesto, lo más probable es que eso no ocurra. En nuestro experimento podemos obtener estos resultados:

Vemos que la frecuencia relativa, y por tanto también la probabilidad, de que salga el uno es 0,175, es decir, un 17,5 %. Esto está cerca de la probabilidad $\frac{1}{6}$, que es 0,16666…, pero no es del todo exacto.

Eso no significa que una u otra probabilidad sea errónea. Construir un dado perfectamente equilibrado no es nada fácil, y también puede ser difícil realizar la prueba en sí, en la que lanzamos el dado 600 veces.

La probabilidad matemática funciona, por tanto, en condiciones ideales, en las que lanzaríamos el dado hasta el infinito. Cuanto más tiempo lanzáramos un dado idealmente equilibrado, más se acercarían las frecuencias relativas de cada resultado a la probabilidad matemática teórica.

Por eso distinguimos dos probabilidades: la matemática, que parte de condiciones idealizadas, y la estadística (también empírica), que calculamos a partir de las frecuencias relativas de nuestros datos.

Para calcular la probabilidad estadística deberíamos disponer de un conjunto de datos suficientemente grande. Por ejemplo, a nuestro sediento Paco lo observamos solo durante un mes, pero sería mucho mejor observarlo al menos un año.

Distribución de una variable continua

En una variable continua no determinamos la probabilidad en un punto concreto, sino siempre en un intervalo. La probabilidad será igual al área bajo la curva, así que para el cálculo necesitaremos una integral. Podemos tener un gráfico de una variable continua como este, que podría ser, por ejemplo, la medición de una desviación en cm:

En el eje x tenemos, pues, los valores en cm y en el eje y tenemos las frecuencias relativas. Supongamos que solo hemos medido valores en el intervalo [−4, 4]. La probabilidad empírica de que midamos una desviación en este intervalo es, por tanto, 1, es decir, el 100 %.

¿Cómo se relaciona esto con el área? Decimos que el área ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, donde p es la función de probabilidad, nos da precisamente ese 100 %. Si nos preguntáramos cuál es la probabilidad empírica de que el valor esté en el intervalo [0, 4], obtendríamos una figura así:

La parte destacada antes correspondía al 100 %, esta corresponde al 50 %, porque el área es evidentemente la mitad. De forma exacta, expresaríamos la probabilidad estadística como la razón

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Ley de los grandes números

Con el capítulo anterior se relaciona la conocida ley de los grandes números. Dice, informalmente, que con un gran número de pruebas independientes la frecuencia relativa (probabilidad estadística) se acercará a la probabilidad matemática.

Podemos imaginarlo de nuevo con el lanzamiento de una moneda. Puede salir cara o cruz, cada lado tiene probabilidad $\frac{1}{2}$, un 50 %. Si lanzamos la moneda cuatro veces, pueden salirnos tres caras y una cruz. La frecuencia relativa es, por tanto, $\frac{3}{4}$ y $\frac{1}{4}$. Eso está bastante lejos de $\frac{1}{2}$.

Si lanzamos en total diez veces, pueden salirnos siete caras y tres cruces. Son las frecuencias $\frac{7}{10}$ y $\frac{3}{10}$. Aunque eso todavía está lejos de $\frac{1}{2}$, estos números están más cerca de la mitad que las frecuencias anteriores.

Así podríamos seguir. Si lanzáramos la moneda mil veces, podrían salirnos 520 caras y 480 cruces. Son ya las frecuencias $\frac{13}{25}$ y $\frac{12}{25}$, que ya se acercan mucho a la mitad (para hacerte una idea, $\frac{13}{25}=0,52$).

Fíjate en que, aunque las frecuencias relativas están mucho más cerca de la mitad, las frecuencias absolutas están mucho más lejos de la frecuencia «ideal». Cuando lanzamos la moneda diez veces, la frecuencia absoluta ideal de cada lado era 5. Es decir, que salieran cinco caras y cinco cruces. Como nos salieron siete caras, eso da una diferencia de dos lanzamientos: 7 − 5 = 2. Nos hemos desviado «en dos lanzamientos» de lo que ocurriría en la situación ideal.

Pero cuando lanzamos la moneda mil veces, salió cara 520 veces, lo que da una diferencia de 20 lanzamientos respecto al ideal, porque en el caso ideal cada lado debería haber salido 500 veces. Parecería, pues, que cuantas más veces lancemos, más alejados serán los resultados.

Pero eso no supone ningún problema: la ley de los grandes números no afirma que nos acerquemos al ideal de la frecuencia absoluta, sino de la relativa. Y estas sí se acercan. Es decir, en las frecuencias absolutas quizá nos alejemos, pero en las relativas nos acercaremos.