Sistemas de ecuaciones

En la práctica nos encontramos a menudo con el caso en que no resolvemos una sola ecuación, sino dos ecuaciones a la vez (o incluso más). Primero veremos cómo resolver un sistema de ecuaciones de este tipo con el método de sustitución. Para resolver sistemas de ecuaciones con matrices, pasa al artículo sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos básicos

Un sistema de ecuaciones está formado por varias ecuaciones que resolvemos conjuntamente. En un sistema de ecuaciones solemos tener también más de una incógnita y tratamos de encontrar una combinación de números tal que, al sustituir con ellos todas las incógnitas, todas las ecuaciones se cumplan.

Un ejemplo de sistema de ecuaciones puede ser este:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

El resultado de este sistema debería ser un par (o un conjunto de pares) de números por los que sustituimos las incógnitas a y b, de modo que ambas ecuaciones sigan cumpliéndose. A ojo vemos que la incógnita a tiene que ser igual a −b para que se cumpla la ecuación a + b = 0. Con este dato, de la segunda ecuación vemos fácilmente que a = 10 y b = −10. Tras sustituir obtenemos:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Bien, ya hemos resuelto el sistema a ojo; ahora vamos con algunos algoritmos que funcionan para resolver sistemas de ecuaciones.

Método de sustitución

En el método de sustitución despejamos una de las incógnitas en una ecuación y luego introducimos ese resultado en la otra ecuación. Para empezar necesitaremos un sistema. Por ejemplo, este:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Este es un sistema sencillo de dos ecuaciones con dos incógnitas. Nuestra tarea es hallar las variables x e y de modo que ambas ecuaciones se cumplan. De la primera ecuación despejamos y. Así que tomamos solo la primera ecuación y despejamos y.

$4 x + 2 y = 6$

Primero restamos 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Dividimos entre dos:

$y = 3 - 2 x$

Ahora sabemos a qué es igual y. Este resultado lo podemos sustituir en lugar de la variable y en la segunda ecuación. O sea, en la segunda ecuación escribimos 3 − 2x en lugar de y. ¿Qué conseguimos con ello? Conseguimos que en la segunda ecuación no tengamos dos variables, sino solo una, porque en lugar de la variable y sustituimos una expresión que contiene solo la variable x. Así que sustituimos:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Ahora solo hay que quitar el paréntesis y sumar lo que se pueda:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Ahora conocemos el valor de x, que es igual a dos. Nos queda calcular el valor de y. Lo hacemos sustituyendo el valor ya conocido de x en alguna ecuación que contenga ambas variables, x e y. Podemos elegir, por ejemplo, la primera ecuación. Sustituimos así:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Con esto hemos resuelto el sistema. El sistema de ecuaciones tiene una única solución: x = 2 e y = −1. Si quieres comprobar este resultado, basta con sustituir en ambas ecuaciones. Sustituimos primero en la primera ecuación:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Y ahora en la segunda ecuación:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Método de reducción

Este método me gusta más, pero, por supuesto, depende del ejemplo concreto. No siempre conviene. El principio del método de reducción es que sumar ecuaciones es, al resolver sistemas de ecuaciones, una transformación equivalente. Sumamos las ecuaciones sumando el primer miembro de una ecuación con el primer miembro de la otra y luego sumando los segundos miembros de las ecuaciones. Tomemos en general un sistema de ecuaciones como este:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Al sumar estas ecuaciones obtendríamos una única ecuación definida así:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Hemos sumado los primeros miembros por un lado y los segundos por otro. Pero ¿cuál será nuestro objetivo? Si sumamos dos ecuaciones y nos quedan dos variables, no avanzamos mucho. Por eso intentamos que, al sumar ambas ecuaciones, desaparezca una variable, es decir, que se resten entre sí, que se anulen mutuamente. Intentamos, pues, que la suma de uno de los pares de funciones, f o g, sea cero:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

¿Cómo lo conseguimos? Un sistema de ecuaciones contiene ecuaciones corrientes, a las que podemos aplicar transformaciones equivalentes de ecuaciones, tal como las conocemos de los tipos habituales de ecuaciones. Por eso podemos multiplicar una de las ecuaciones por un número y la validez de la ecuación no cambia. Intentemos, pues, resolver el sistema anterior con el método de reducción. El enunciado es el mismo:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Si sumáramos las ecuaciones de inmediato, nos quedarían ambas variables:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Por eso primero tenemos que hacer algunas transformaciones. Intentaremos que «desaparezca» la variable y. Para ello necesitamos que el coeficiente de y sea igual en ambas ecuaciones, salvo el signo, que tiene que ser opuesto. Buscamos, pues, el mínimo común múltiplo, que es 6. Un procedimiento sencillo es multiplicar los coeficientes: dos por tres son seis, así que el número seis es sin duda divisible entre ambos números (observación: este procedimiento no garantiza el mínimo común múltiplo, pero halla un número que es divisible entre ambos coeficientes).

Ahora intentamos conseguir un seis delante de y en cada ecuación. Multiplicamos, pues, la primera ecuación por tres y la segunda por dos:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Obtenemos:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Ahora sumamos las ecuaciones:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Hemos obtenido así una ecuación con una incógnita, que ya sabemos resolver fácilmente:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vemos que hemos obtenido el mismo resultado que con el método anterior, el de sustitución. Ahora solo tendríamos que sustituir de nuevo x en alguna ecuación y obtendríamos el resultado y = −1. La comprobación se haría exactamente igual.

Número de soluciones

Un sistema de ecuaciones no tiene por qué tener exactamente una solución. Puede tener también infinitas soluciones o, al contrario, ninguna. Veamos brevemente cuándo ocurre esto. Si tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y podemos expresar una de ellas mediante la otra aplicándole algunas transformaciones equivalentes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Sirva de ejemplo el sistema

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vemos que si multiplicamos la primera ecuación por dos, obtenemos exactamente la segunda. La segunda ecuación no nos aporta, pues, ninguna «información nueva» sobre el sistema, así que en la práctica sobra. En conjunto, esto se traduce en que cualquier solución de la ecuación

$x + y = 2$

es a la vez solución de todo el sistema. Por ejemplo, los pares (1, 1) o (−3, 5) son solución de la primera ecuación y a la vez de todo el sistema.

El sistema no tiene ninguna solución si en él hay ecuaciones contradictorias que no pueden cumplirse a la vez. Por ejemplo:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

No puede ocurrir que la suma x + y sea igual a dos y a cuatro al mismo tiempo, por eso el sistema no tiene solución. Veamos unos cuantos ejemplos más:

Primer ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Con un vistazo rápido al sistema vemos que es un buen candidato para el método de reducción. El coeficiente de x en la segunda ecuación es el doble que en la primera, y el coeficiente de y en la segunda ecuación es el triple. Basta, pues, multiplicar la primera ecuación por menos dos o por menos tres y sumar las ecuaciones. Probemos a eliminar, por ejemplo, la variable x, así que multiplicamos la primera ecuación por −2. Obtenemos:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Sumamos estas dos ecuaciones y obtenemos

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Ya tenemos el primer resultado de nuestro sistema. Sustituimos este resultado en alguna ecuación; podemos sustituirlo de nuevo en la primera ecuación:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Así tenemos la solución del sistema de ecuaciones: x = 9 e y = −14.

Segundo ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Esto parece algo enrevesado, pero saldrá. Lo primero que tenemos que hacer es quitar los paréntesis; sin eso no llegaremos muy lejos.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Ahora llevamos las ecuaciones a una forma más manejable: pasamos las variables al primer miembro y los términos independientes al segundo, y restamos lo que se pueda.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Ya hemos convertido esas ecuaciones de aspecto poco agradable en un sistema bastante manejable y podemos aplicar alguno de los procedimientos clásicos. Podemos, por ejemplo, multiplicar la segunda ecuación por dos y sumarla a la primera. Al multiplicar la segunda ecuación por dos obtenemos:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Ahora sumamos ambas ecuaciones con el método de reducción clásico:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Muy bien, ya conocemos un resultado. Lo sustituimos en alguna de las ecuaciones y calculamos y. Podemos sustituir, por ejemplo, en la ecuación 2x− 3y = −13 y obtenemos:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Ahora ya tenemos la solución completa del sistema de ecuaciones: tiene solución cuando x = 4 e y = 7.

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