Números primos

Los números primos son los números que solo son divisibles por uno y por sí mismos. Las propiedades de los números primos se utilizan a menudo, por ejemplo, en criptografía.

Definición y ejemplos

Un número primo es un número natural que es divisible sin resto únicamente por uno y por sí mismo, y el propio uno no es un número primo. El número primo más pequeño es el dos: es divisible sin resto por uno y por dos. Es también el único número primo que es par. Todos los demás números primos son impares, porque cualquier otro número par es divisible, además de por uno y por sí mismo, también por dos.

Sucesión de los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…

De los números primos trata el teorema fundamental de la aritmética, que dice que todo número entero mayor que 1 puede descomponerse en un producto de números primos.

Comprueba si un número es primo

Propiedades de los números primos

• Hay infinitos números primos. La demostración se encuentra en el artículo sobre la demostración por reducción al absurdo.
• Para cada número entero z>1 se cumple que en el intervalo (z, 2z) existe al menos un número primo. Ejemplo: para z = 2 tenemos el intervalo (2, 4). El único número entero que hay en este intervalo es el tres, que es un número primo. Para z = 5 obtenemos el intervalo (5, 10), es decir, los números 6, 7, 8, 9. El número 7 es primo. Análogamente para valores mayores de z.
• Un número primo de Mersenne es un número primo que es una unidad menor que alguna potencia entera de dos. Un número primo de Mersenne M tiene, pues, la forma M = 2^z − 1, donde z es algún número natural. Un ejemplo es el número primo 3, porque se cumple 2² − 1 = 3. O el 7, porque 2³ − 1 = 7.
• Los mayores números primos conocidos suelen ser precisamente los de Mersenne. Por ejemplo, el 23 de agosto de 2008 se encontró el número primo de Mersenne M_43112609, donde el subíndice indica el exponente z. Se trata, pues, del número primo 2^43112609 − 1, que tiene 12.978.189 cifras y en aquel momento era el mayor número primo conocido.

Sucesión sin números primos

Se puede encontrar una sucesión finita arbitrariamente larga de números naturales consecutivos entre los cuales no hay ni un solo número primo. Una sucesión así puede tener la forma k!+2, k!+3, …, k!+k y contiene k − 1 números compuestos consecutivos (el signo de exclamación es el factorial).

Por ejemplo, para k = 6 obtenemos cinco números compuestos consecutivos de la forma: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Estos números son divisibles, respectivamente, por dos, tres, cuatro, cinco y seis, porque el número 6! = 720 es sin duda divisible por todos ellos, ya que se obtiene como su producto: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Si el número 720 es divisible por tres, entonces el número 720 + 3 también tiene que ser divisible por tres. Lo mismo ocurre con los demás.

Pequeño teorema de Fermat

Para todo número primo p y para todo número entero z, se cumple que el número z^p − z es divisible por el número primo p.

Ejemplo: tomemos el número primo p = 3 y el número entero z = 4. Calculamos el valor del número 4³ − 4. Es igual a 60. Y se cumple que 60/3 = 20, de modo que el número tres divide a sesenta sin resto, lo que concuerda con el teorema de Fermat. Otro ejemplo: p = 7, z = 10. Calculamos el resultado intermedio 10⁷ − 10 = 9999990 y dividimos este número entre siete: 9999990/7 = 1428570. De nuevo hemos obtenido un resultado sin resto.

Cuestiones sin resolver

Sobre los números primos hay muchas conjeturas conocidas que todavía (en 2011) no se ha conseguido demostrar ni refutar. Entre las dos más conocidas están:

• Infinitud de los números primos gemelos: un par de números primos gemelos es un par de números (z, z + 2) en el que ambos números son primos. Por ejemplo, (3, 5) o (29, 31). La cuestión es si hay infinitos pares de primos gemelos. Se supone que sí, pero falta la demostración.
• Hipótesis de Riemann: todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real igual a $\frac{1}{2}$. La hipótesis está relacionada con la distribución de los números primos y es uno de los llamados problemas del milenio, y por resolverlo te espera un premio de un millón de dólares.