Sacar factor común

Antes de ponernos con sacar factor común, repasaremos cómo se quitan los paréntesis, porque está muy relacionado con sacar factor común. Incluso se podría decir que sacar factor común es la operación totalmente contraria a quitar paréntesis.

Quitar un paréntesis

Quitar un paréntesis es una operación sencilla que mostraremos con un ejemplo: calculemos la expresión 3 · (5 + 8). Tenemos dos formas de proceder. Podemos sumar lo que hay dentro del paréntesis y obtenemos 3 · 13, porque 5 + 8 = 13.

La segunda forma es quitar el paréntesis. Esto significa que tomamos el número que está delante del paréntesis, el tres, y con ese número multiplicamos los dos números del paréntesis. El signo más del paréntesis se mantiene. Obtenemos así:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Los dos procedimientos llevan al mismo resultado: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Por qué funciona quitar un paréntesis

¿Por qué podemos permitirnos este procedimiento? ¿Por qué funciona? Imaginemos el producto como una suma escrita por extenso. Si, por ejemplo, escribimos 3 · 7, decimos con ello que queremos sumar tres veces el número siete, es decir, 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Del mismo modo podemos escribir por extenso el ejemplo con paréntesis: 3 · (5 + 8) es lo mismo que (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Como en la suma no importa el orden, podemos quitar los paréntesis y colocar los cincos y los ochos juntos así: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Y aquí ya vemos que podemos reescribir esta expresión con una multiplicación así: 3 · 5 + 3 · 8, que es lo que hicimos al quitar el paréntesis.

Ejemplos de cómo quitar paréntesis

1. Quita el paréntesis de 5 · (4 + 7). De nuevo multiplicamos por cinco los números del paréntesis y obtenemos 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Quita el paréntesis de 6 · (x + 4). No nos asustemos de la incógnita y multipliquémosla también por seis. Obtenemos: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Quita el paréntesis de x · (4 + 173). Ahora tenemos la incógnita delante del paréntesis, así que multiplicamos por x los dos números del interior del paréntesis. Obtenemos x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Quita el paréntesis de 4x · (2x + 7). Ahora tenemos la incógnita delante del paréntesis y dentro de él, y además delante del paréntesis hay una expresión más complicada. Tampoco importa: multiplicamos el contenido del paréntesis por 4x así: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Sacar factor común de forma sencilla

Sacar factor común es el procedimiento contrario a quitar un paréntesis. Al principio tenemos, por ejemplo, la expresión 10x + 5. Si ahora encontramos un número entre el que podamos dividir razonablemente los dos sumandos, podemos sacar ese número como factor común. En nuestra expresión será el número 5, porque 10x / 5 = 2x y 5 / 5 = 1. Así podemos escribir que

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Si ahora quitamos el paréntesis de 5 · (2x + 1), obtenemos de nuevo 10x + 5. El objetivo de sacar factor común suele ser simplificar la expresión dada o ponerla en forma de producto, para poder simplificarla en una fracción.

Sacar factor común de la incógnita

Muchas veces se saca factor común la propia incógnita, no solo un número. Así que, si tenemos la expresión 3x² + 7x, podemos sacar factor común x, es decir, dividimos los dos términos entre x, añadimos un paréntesis y multiplicamos el paréntesis por x. Obtenemos 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Normalmente intentamos sacar factor común «lo máximo» posible, así que, si tuviéramos la expresión 8x² + 12x, podemos sacar factor común solo x y obtener 8x² + 12x = x · (8x + 12), pero vemos que del paréntesis aún podríamos sacar factor común el número 4. Podemos hacerlo ahora, después, y obtenemos: x · (4 · (2x + 3)). Podemos quitar esos paréntesis exteriores y obtenemos: 4x · (2x + 3).

Pero llegaríamos al mismo resultado si de la expresión original 8x² + 12x sacáramos factor común directamente la expresión 4x. Si lo escribiéramos por extenso, obtendríamos

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Sacar factor común en expresiones más complicadas

Hasta ahora hemos sacado factor común solo de expresiones que contienen dos sumandos. Pero también podemos sacar factor común de expresiones más largas. Por ejemplo, de 7x³ + 5x² + 2x podemos sacar factor común x y obtenemos x · (7x² + 5x + 2).

Tampoco tenemos que sacar siempre solo un número bonito, podemos sacar cualquier cosa. Por ejemplo, de la expresión 6x + 7 podemos sacar factor común el número 2, pero obtenemos un resultado poco agradable, porque tenemos que dividir los dos términos entre dos. Con 6x sale sin problema, porque 6x / 2 = 3x, pero con el número 7 ya no sale tan bien: 7 / 2 = 3,5. Obtenemos así la expresión 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Ejemplos resueltos

• Saca factor común de forma sencilla en 25x + 45. A primera vista se ve que podemos sacar factor común el número 5, así que obtenemos 5 · (5x + 9).

• Simplifica la fracción

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Primero sacamos factor común x en el numerador de la fracción. Obtenemos así en el numerador x · (3x + 7). Ahora podemos simplificar x en toda la fracción.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Saca factor común de forma sencilla en −2x² − 8x. Aquí tenemos por primera vez números negativos. No importa en absoluto: igual que hemos sacado factor común números positivos, podemos sacar números negativos. Así podemos sacar factor común de una vez −2x. Obtenemos

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$