Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es una ecuación que podemos transformar en la forma ax + b = 0, donde a ≠ 0. Un ejemplo concreto podría ser este: 2x + 4 = 0. La solución de esta ecuación es el número −2, algo que se deduce con bastante lógica. Si los números fueran un poco mayores, la deducción ya no sería tan sencilla, así que necesitaremos un procedimiento más concreto.

Forma general de la ecuación de primer grado

Dicho con más precisión, es una ecuación con una incógnita x que, mediante transformaciones equivalentes, se puede llevar a la forma ax + b = 0, donde a ≠ 0. En ella la incógnita no está elevada a una potencia, ni sometida a una raíz, etc. Las ecuaciones con la incógnita en el denominador de una fracción solo se pueden llevar a esa forma con la condición de que el denominador no sea cero. Por eso las resolvemos aparte; mira ecuaciones de primer grado con la incógnita en el denominador. Observa ejemplos de distintas ecuaciones de primer grado:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Como ves, una ecuación de primer grado puede tener un aspecto de lo más variado. Para resolverlas cómodamente, primero necesitamos unificarlas en una sola forma, a la que llamamos forma general:

$$ax+b=0,$$

donde x es la incógnita y los símbolos a y b son números reales cualesquiera, a los que llamamos coeficientes de la ecuación. Además, el número a no puede ser cero, es decir, a ≠ 0. A la expresión ax la llamamos término lineal y a la expresión b, término independiente.

Para resolver una ecuación de primer grado no podemos prescindir de las transformaciones equivalentes, es decir, de aquellas transformaciones que no cambian la solución de la ecuación. Sin ellas no se puede resolver una ecuación más complicada. Podemos llevar la ecuación a la forma general bien transformando las propias expresiones que aparecen en ella, bien aplicando precisamente transformaciones equivalentes de ecuaciones.

Volvamos a los ejemplos de arriba. La primera ecuación, 2x + 7 = 0, ya está en la forma general, así que vemos directamente los coeficientes a = 2 y b = 7. Con la segunda ecuación, x − 2 = 74, no es tan fácil. Con una transformación equivalente sumamos a ambos miembros el número −74 (o, lo que es lo mismo, restamos 74 a ambos miembros) y obtenemos x − 76 = 0. Esta ya está en la forma general, con coeficientes a = 1 y b = −76.

La tercera ecuación está todavía lejos de la forma general, pero también podemos con ella. Primero «fabricamos» un cero en el segundo miembro: sumamos a ambos miembros la expresión 12x. Así se anula el segundo miembro, porque (−12x) + 12x = 0. La ecuación completa quedará así:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Ahora solo nos queda quitar los paréntesis y sumar los términos con x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Esta ecuación de primer grado está en la forma general y sus coeficientes son a = −8 y b = 3.

En la última ecuación tenemos que quitar las fracciones. Por eso multiplicamos toda la ecuación por 72, que es divisible entre todos los denominadores:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Ahora simplificamos las fracciones:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

En el primer miembro sumamos y en el segundo multiplicamos:

$$39x=405x+72$$

Queda el último paso: restamos a ambos miembros 405x y 72, y la ecuación está en la forma general:

$$-366x-72=0$$

Los coeficientes son, pues, a = −366 y b = −72.

Cómo resolver una ecuación de primer grado

Si tenemos la ecuación de primer grado en la forma general, resolverla es fácil. Veámoslo con un ejemplo: 3x − 18 = 0. ¿A qué número tenemos que restarle 18 para obtener cero? Pues al propio 18. Así que, para que la expresión 3x − 18 sea igual a cero, la expresión 3x tiene que ser igual a 18; entonces obtenemos 18 − 18 = 0. ¿Cuándo será la expresión 3x igual a 18? Justo cuando x = 6, porque 3 · 6 = 18.

¿Cómo deducimos de aquí el procedimiento general? Lo primero que tenemos que averiguar es a qué debe ser igual el término lineal ax. Lo averiguamos pasando el término independiente al segundo miembro de la ecuación, es decir, sumando a la ecuación −b. Así obtenemos la ecuación ax + b − b = −b, que es lo mismo que ax = −b. En el caso del ejemplo anterior obtendríamos 3x − 18 + 18 = 18, es decir, 3x = 18. No olvides que el número b era b = −18, así que si sumamos −b, sumamos −(−18), que es igual a +18.

Tenemos la ecuación en la forma ax = −b. ¿Cómo obtenemos directamente x? En el ejemplo buscábamos un x tal que, multiplicado por tres, diera 18. ¿Qué hicimos en realidad? Dividimos 18/3 = 6. Es decir, tomamos la expresión del segundo miembro (−b) y la dividimos entre el valor a, que en el ejemplo era el tres. Así, de ax = −b obtenemos

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

El procedimiento completo aplicado al primer ejemplo queda así:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Significado geométrico

Si llevamos la ecuación de primer grado a la forma general, en el primer miembro obtenemos una función lineal. La gráfica de una función lineal es una recta. Como la forma general de la ecuación de primer grado es ax + b = 0, las soluciones de esta ecuación son todos los puntos en los que la recta (la gráfica de la función lineal) corta el eje de abscisas (eje OX), que es a la vez la gráfica de la función f(x) = 0, es decir, del segundo miembro.

Por ejemplo, hemos averiguado que la solución de la ecuación 3x − 18 = 0 es x = 6. ¿Qué significa eso? Que la gráfica de la función 3x − 18 corta el eje OX en el punto x = 6.

Intentemos resolver gráficamente la ecuación 5x + 2 = 2x − 7. ¿Cómo podemos proceder? Podemos llevar la ecuación a la forma general, es decir, sumamos −2x, con lo que obtenemos 3x + 2 = −7, y a continuación sumamos 7: 3x + 9 = 0. Ahora dibujamos la gráfica de la función lineal y = 3x + 9 y averiguamos dónde corta el eje OX.

La segunda forma es no transformar la ecuación en absoluto y dibujar las gráficas de las funciones de ambos miembros de la ecuación. Es decir, dibujamos las gráficas de las funciones f(x) = 5x + 2 y g(x) = 2x − 7.

Estas dos rectas se cortan en un punto, marcado como A. ¿Qué abscisa tiene este punto A? De nuevo x = −3. La solución gráfica de la ecuación 5x + 2 = 2x − 7 es, pues, la abscisa del punto de corte de las gráficas de las funciones del primer y del segundo miembro.

Ejercicios resueltos

Primer ejercicio: Intentemos resolver la ecuación 7x − 14 = 0. La situación es sencilla: la ecuación está en la forma general, así que solo aplicamos el procedimiento:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Segundo ejercicio: Resuelve la ecuación 2x + 10 = 0. La ecuación vuelve a estar en la forma general; solo tienes que fijarte en que b es positivo y, por eso, tras la transformación te sale un número negativo en el segundo miembro:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Tercer ejercicio: Resuelve la ecuación 15 − 3x = 0. La ecuación está casi en la forma general; solo necesitamos poner la incógnita x en primer lugar. Entonces la ecuación queda −3x + 15 = 0. De nuevo, ojo: aquí tenemos un signo menos delante del término lineal, algo que no habíamos visto hasta ahora. Pero las transformaciones serán exactamente las mismas:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

El ejercicio también se puede resolver de otra manera, más larga. En lugar de dividir directamente la ecuación entre el número −3, podemos multiplicar primero la ecuación por el número −1, con lo que nos libramos de los dos signos menos. Y después ya podemos dividir la ecuación entre tres:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Cuarto ejercicio: Resuelve la ecuación de primer grado

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Esta ecuación ya es algo más complicada, porque tiene fracciones. Lo primero que tenemos que hacer es quitar denominadores. Lo mejor es multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Tenemos dos denominadores, 4 y 2. El mínimo común múltiplo es 4. Si no te apetece calcularlo, puedes multiplicar toda la ecuación por el producto de todos los denominadores, es decir, 4 · 2 = 8, pero no es el procedimiento recomendado, porque te complicarás la vida en el paso siguiente. Si multiplicamos la ecuación por cuatro, nos libramos de las fracciones simplificándolas poco a poco:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Ahora llevamos la ecuación a la forma general: x − 12 = 0, y de esta ecuación ya vemos que x = 12.

Quinto ejercicio / problema: Tenemos dos hermanos, Hugo y Martín. Martín se puso a trabajar nada más terminar el instituto, mientras que Hugo fue además a la universidad, donde estudió cinco años en total. Martín cobraba cada mes un sueldo de 1000 €. Aunque Hugo estudió Recreología, con especialización en tumbarse en la tumbona, consiguió un puesto en la administración pública, donde cobraba 1400 € al mes. ¿Cuánto tiempo tardará Hugo en ganar, en total, el mismo dinero que Martín? Es decir, para aclararlo: en cinco años Martín ganó 5 · 12 · 1000 euros, mientras que Hugo, pasados los cinco años, está a cero. ¿Al cabo de cuántos meses será igual esa cantidad?

Del enunciado podemos construir una ecuación de primer grado así: la variable x representará el número de meses buscado, de modo que x = 0 indica cero meses desde que Hugo terminó la carrera.

Primero construimos la función que determina los ingresos de Hugo en función del número de meses. Así, si nos interesan, por ejemplo, los ingresos de Hugo a los seis meses, calculamos sin más que 1400 · 6 = 8400 euros. En general podemos escribir que, tras x meses, Hugo ha ganado en total 1400 · x euros.

Con Martín sería parecido: 1000 · x, pero tenemos que sumar además la cantidad que ganó mientras Hugo estudiaba. Hugo estudió cinco años, así que Martín ganó durante los estudios 5 · 12 · 1000 euros. La expresión completa para Martín será, pues: 5 · 12 · 1000 + 1000 · x.

Igualamos estas funciones, porque nos interesa para qué x coinciden estas ganancias:

$$5\cdot 12\cdot 1000+1000\cdot x=1400\cdot x$$

La ecuación se transforma fácilmente pasando todas las x a un miembro:

$$400x=5\cdot 12\cdot 1000$$

Y por último solo dividimos entre 400:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Al cabo de 150 meses los dos tendrán el mismo dinero. Martín ganó durante los estudios de Hugo nada menos que 5 · 12 · 1000 = 60.000 euros, y además en otros 150 meses ganó 1000 · 150 = 150.000, lo que hace un total de 60.000 + 150.000 = 210.000 euros. Hugo trabajó solo esos 150 meses y en ese tiempo ganó 1400 · 150 = 210.000 euros. Vemos que, tras los cinco años de estudios y otros 150 meses, ambos han ganado realmente lo mismo.

Más ejercicios

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Primero quitamos el paréntesis:

$$2x-14=6$$

Ahora dejamos en el primer miembro la expresión con la incógnita y pasamos todo lo demás al segundo miembro:

$$2x=20$$

… y por último dividimos entre dos.

$$x=10$$

Resuelve la ecuación

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

De nuevo empezamos quitando los paréntesis:

$$9-3x+5x-10=0$$

Sumamos lo que se puede sumar y pasamos las variables al primer miembro y el resto al segundo miembro:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Por último dividimos toda la ecuación entre dos:

$$x=\frac{1}{2}$$