Propiedad distributiva

La distributividad es una propiedad de dos operaciones binarias, como por ejemplo la suma y la multiplicación. En el caso de la multiplicación y la suma, la distributividad nos dice que podemos «quitar paréntesis». Por ejemplo, si tenemos la expresión

$$2\cdot (3+4)$$

sabemos que podemos quitar el paréntesis, con lo que obtenemos otra expresión

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Las dos expresiones llevan al mismo resultado, al número 14. Hemos podido hacerlo porque, en el conjunto de los números reales, la multiplicación es distributiva respecto de la suma. En general, si tenemos dos operaciones · y +, decimos que la operación · es distributiva respecto de la operación + en el conjunto M si se cumple

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

para todos los a, b, c ∈ M. Otro ejemplo de operaciones distributivas son las de la lógica proposicional, la conjunción ∧ y la disyunción ∨. Imaginemos que tenemos las proposiciones A, B y C. Si decimos «A y (B o C)», lo escribimos como

$$A\wedge (B\vee C)$$

Y como la operación conjunción es distributiva respecto de la operación disyunción, se cumple también

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Es decir, con palabras: «(A y B) o (A y C)». Para tener también un ejemplo de operaciones que no son distributivas, tomemos, por ejemplo, la suma y la resta:

$$10-(5+3)$$

El resultado correcto es, claro, 2, porque tras sumar el paréntesis obtenemos 10 − 8, que es 2. Si aplicáramos a este cálculo la regla de la distributividad, obtendríamos la expresión:

$$(10-5)+(10-3)$$

Tras calcular los paréntesis tendríamos 5 + 7, que es 12. Vemos que hemos obtenido un resultado incorrecto, así que las operaciones suma y resta no son distributivas.

Más ejemplos: algunas operaciones con matrices cumplen la propiedad distributiva. Los vectores de un espacio vectorial también. Las operaciones de un cuerpo tienen que ser distributivas.