Propiedad conmutativa

La conmutatividad es una propiedad de operaciones como, por ejemplo, la suma. Podemos observar que en la suma no importa el orden, así que 3 + 5 es lo mismo que 5 + 3. Sumemos los dos números reales que sean, a + b: el resultado será el mismo aunque intercambiemos los sumandos: b + a. Si una operación cumple esta condición, decimos que es conmutativa.

Otro ejemplo de operación conmutativa es la multiplicación, porque 2 · 6 da el mismo resultado que 6 · 2 y lo mismo vale para dos números cualesquiera a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Un ejemplo de operación que no es conmutativa es la resta, porque 7 − 4 es distinto de 4 − 7. En el primer caso obtenemos el resultado 3, en el segundo obtenemos −3. Otro ejemplo es la división, porque 2 / 5 es distinto de 5 / 2.

Pero ten cuidado con otras propiedades de las operaciones, por ejemplo con la jerarquía de las operaciones. Si tenemos la expresión 1 + 2 · 3, no podemos decir que sea lo mismo que 2 + 1 · 3. La multiplicación tiene prioridad sobre la suma. Nos pueden ayudar los paréntesis: la expresión 1 + 2 · 3 es igual que 1 + (2 · 3). Si queremos aplicar la propiedad conmutativa de la suma, podemos hacerlo, pero tenemos que llevarnos todo el paréntesis: 1 + (2 · 3) es igual a (2 · 3) + 1 y esto es igual a (3 · 2) + 1, si aplicamos además la conmutatividad de la multiplicación.

Operaciones con conjuntos y conmutatividad

No solo las operaciones con números pueden ser conmutativas, sino también, por ejemplo, las operaciones con conjuntos. Por ejemplo, la intersección de conjuntos A y B es una operación conmutativa. La intersección de dos conjuntos son «los elementos que están en ambos conjuntos», es decir,

$$A\cap B=B\cap A$$

Exactamente igual funcionará la unión de conjuntos A y B, cuyo resultado son «los elementos que están al menos en uno de los conjuntos» y, por tanto:

$$A\cup B=B\cup A$$

No es conmutativa, por ejemplo, la diferencia de conjuntos.

Vectores

Otra de las operaciones conmutativas se encuentra entre las operaciones con vectores y es la suma de vectores; en general, la suma suele ser una operación conmutativa. En este caso, si tenemos dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$, se cumple que

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Gráficamente lo muestra la figura siguiente:

La suma $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ está representada por el «camino de arriba»: primero aplicamos el vector rojo $\overrightarrow{u}$ y solo después el vector azul $\overrightarrow{v}$. La suma $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ está representada por el «camino de abajo»: primero vamos por el camino del vector azul $\overrightarrow{v}$ y luego por el del vector rojo $\overrightarrow{u}$. Pero el resultado es el mismo, los vectores acaban en el mismo punto.

Puedes imaginarlo como si salieras de un lugar y anduvieras cincuenta metros hacia el norte y luego veinte metros hacia el oeste. Si primero anduvieras veinte metros hacia el oeste y luego cincuenta metros hacia el norte, acabarías en el mismo lugar. Esta forma de caminar es, por tanto, conmutativa.

Lógica

Entre las operaciones conmutativas están también los operadores lógicos «y» (conjunción) y «o» (disyunción). Esto significa que la proposición «el número 5 es impar y, además, primo» tiene el mismo valor de verdad que la proposición «el número 5 es primo y, además, impar». De forma similar para la disyunción: «el número 6 es primo o es par» tiene el mismo valor de verdad que la proposición «el número 6 es par o es primo».

Pero la implicación no es conmutativa; es decir, la proposición «si me toca La Primitiva, seré rico» no es lo mismo que «si soy rico, me tocará La Primitiva».