Números racionales

Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción.

Definición

Los números racionales son, por tanto, todos los números que se pueden escribir de la forma

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

La condición de que ambos números sean enteros tiene un sentido evidente: si eligieras un número que no es racional, por ejemplo π, y formaras una fracción así:

$$\frac{\pi }{1},$$

obtendrías de nuevo el número π, que no es racional. Por eso el denominador y el numerador tienen que ser enteros. Y como no se puede dividir entre cero, el denominador tiene que ser distinto de cero.

También podemos decir que los números racionales son los números con expresión decimal finita y los números con expresión decimal infinita en la que alguna parte se repite periódicamente. Veamos ejemplos de números racionales, primero en forma de fracción:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

y después números en forma de número decimal: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Notación periódica

En el ejemplo anterior teníamos el número 0,3333… Se trata de la expresión decimal de la fracción 1/3 y es un número con expresión decimal infinita. Aun así es racional, porque la expresión es periódica. Una expresión periódica significa que a partir de cierto punto se repite siempre la misma secuencia de cifras. En nuestro caso se repetía el tres hasta el infinito. Pero hasta el infinito puede repetirse, por ejemplo, la secuencia de cifras 12345, y seguirá siendo un número con periodo, un número racional.

Así, todo número con expresión decimal finita es un número racional. Todo número con expresión decimal infinita en la que alguna parte se repite periódicamente también es un número racional. Un número con expresión decimal infinita en la que ninguna parte se repite periódicamente es un número irracional.

El periodo se señala bien con tres puntos suspensivos o, más a menudo, con una barra sobre las cifras que se repiten periódicamente. Puede repetirse periódicamente una sola cifra, pero también varias. El periodo puede empezar justo al principio de la parte decimal o más adelante. Todos estos son números periódicos:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Notación y significado

Los números racionales se denotan con la letra Q con arcos dobles: ℚ. Viene de «cociente» (en inglés, «quotient»), que designa el resultado de una división.

Los números racionales se usan para indicar una parte de un todo. Típicamente, por ejemplo, «la mitad» o «la décima parte». Son denominaciones de una parte de un todo que en los números racionales se puede expresar como cociente 1/2 y 1/10. En estos casos el denominador indica el todo y el numerador la parte del todo. Si el numerador es igual al denominador, tenemos el todo completo. Estas cantidades suelen convertirse después en porcentajes.

Propiedades

1. Los números racionales forman un conjunto infinito numerable.

• Los números racionales son cerrados respecto de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Esto significa que si dividimos dos números racionales, obtenemos de nuevo un número racional. Este es un cambio respecto de los números enteros, que no eran cerrados respecto de la división.
• Los números racionales contienen todos los números enteros. Si todos los números racionales se pueden expresar como fracción a/b, basta con que b = 1 y al dividir a/1 = a obtenemos siempre el valor del numerador.
• Si tomamos dos números racionales a y b para los que se cumple a < b, siempre encontraremos otro número racional q para el que se cumple a < q < b. Dicho de otro modo, entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos encontrar otro número racional. Se cumple incluso una versión más fuerte: entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales más.
• Una consecuencia de la propiedad anterior es que no existe un número racional positivo más pequeño (ni uno negativo más grande). Podemos demostrarlo por reducción al absurdo. Sea m el número racional positivo más pequeño. Entonces no podríamos encontrar un número racional positivo menor. Sin embargo, según la propiedad anterior se cumple 0 < m y, por tanto, existe un número racional s para el que 0 < s < m. Hemos encontrado un número s que es mayor que cero (es positivo) y menor que el número m. Esto contradice que m sea el número racional positivo más pequeño.

Operaciones con números racionales

Todas las operaciones básicas y habituales se describen en el artículo sobre fracciones.

Paso de un número periódico a fracción

Como un número periódico es a la vez un número racional, tiene que poder convertirse en fracción. Veamos cómo se hace. Al principio tenemos el número periódico a = 0,333… Escribimos

$$a=0,\bar{3}$$

Ahora haremos las transformaciones equivalentes de ecuaciones de siempre y multiplicaremos toda la ecuación por diez:

$$10a=3,\bar{3}$$

En el lado derecho, el tres ha pasado a las unidades y detrás de la coma decimal siguen quedando infinitos treses. Ahora restamos a a ambos miembros de la ecuación, es decir, restamos 0,333…, con lo que nos libramos de la expresión infinita.

$$9a=3$$

Este paso quizá ha sido algo complicado, así que lo desarrollo. Hemos realizado esta operación:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Solo nos queda dividir la ecuación de arriba, 9a = 3, entre nueve para obtener el resultado:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Probemos con un ejemplo más:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

El procedimiento será ligeramente distinto. En el ejemplo anterior teníamos un periodo de longitud uno. Más exactamente, el periodo podía ser tan largo como quisiéramos, porque se repetían siempre las mismas cifras, pero nos convenía tomarlo de longitud uno. Ahora tenemos un periodo de longitud dos. De nuevo, podríamos tomar un periodo de longitud seis, pero no nos conviene. Para restar de verdad un periodo completo, esta vez tenemos que multiplicar por cien:

$$100a=145,\overline{45}$$

Restamos una vez a:

$$99a=144$$

Y dividimos entre 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Si intentas dividir estos números con la calculadora, obtendrás justamente 1,454545… Sin embargo, la mayoría de las calculadoras redondean, así que puede que la tuya muestre un resultado algo distinto.

Una curiosidad con 0,9999…

Solo por curiosidad, intentemos convertir en fracción el número periódico

$$a=0,\bar{9}$$

Multiplicamos por diez:

$$10a=9,\bar{9}$$

Restamos a:

$$9a=9$$

Dividimos entre nueve:

$$a=1$$

Vemos que hemos obtenido uno; es decir, el número 0,999… es igual al número 1.

Enlaces

• Wikipedia