Números complejos

Los números complejos son una ampliación de los números reales. En el conjunto de los números reales podemos hacer la mayoría de las operaciones clásicas, como la suma, la resta, la multiplicación y la división (salvo la división entre cero). En los números reales también podemos calcular raíces, pero solo de números no negativos. Esto supone una laguna, por ejemplo cuando resolvemos una ecuación de segundo grado y nos sale un discriminante negativo. Los números complejos llenan esa laguna.

Qué es un número complejo

Los números complejos se diferencian de los números corrientes sobre todo en que contienen dos partes: la real y la imaginaria. Un número complejo es un par ordenado de números (x, y), donde el número x representa la parte real y el número y la parte imaginaria. Si la parte real es nula, se trata de un número complejo imaginario puro. Los números x e y en sí son reales.

El conjunto de los números complejos se denota con la letra C mayúscula: ℂ.

Igualdad de números complejos: a diferencia de los números corrientes, los números complejos contienen dos componentes. Por tanto, para que dos números complejos sean iguales, tienen que ser iguales en ambas componentes. Estos números complejos son, pues, distintos entre sí: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Los números complejos z₁ = (1, 2) y z₂ = (1, 2) son iguales: z₁ = z₂.

Forma binómica y unidad imaginaria

Los números complejos se escriben con más frecuencia en forma binómica, que es la siguiente. El número complejo (x, y) tiene forma binómica x + yi, donde i se llama unidad imaginaria. Para el cuadrado de la unidad imaginaria se cumple una relación muy importante:

$$i^2=-1$$

Esta ecuación la usaremos a menudo, junto con otras potencias. Las potencias mayores se pueden calcular de la manera habitual. Por ejemplo, si queremos simplificar i³, podemos descomponer la expresión según las reglas de cálculo con potencias en i² · i. Ya sabemos que i² es igual a menos uno. La otra i ya no se puede descomponer más, así que obtenemos: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Lo mismo ocurre con i⁴. Podemos descomponerlo en i² · i², con i² = −1, de modo que obtenemos: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Así que i⁴ = 1. Podemos aprovechar este hecho si calculamos potencias todavía mayores de la unidad imaginaria. Por ejemplo, para calcular i⁷ podemos descomponerlo en i⁴ · i³. Sabemos que i⁴ = 1, así que obtenemos: 1 · i³. Y sabemos que i³ = −i. El resultado es: 1 · (−i) = −i.

Suma y multiplicación

Los números complejos se pueden sumar y multiplicar. Al sumar dos números complejos z₁ y z₂, sumamos por separado las partes reales y las partes imaginarias:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Ejemplo: z₁ = 3 + 7i y z₂ = 5 + 8i. La suma sería así: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

El producto de dos números complejos es algo más complicado, pero se puede desarrollar como la multiplicación clásica de paréntesis. La fórmula básica es la siguiente:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

¿Y cómo hemos llegado a ella? Multipliquemos z₁ · z₂ igual que multiplicaríamos un paréntesis corriente. Obtenemos:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Como i² = −1, tras simplificar el último término obtenemos:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Y ahora solo nos queda agrupar los términos sin unidad imaginaria y con ella:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Ejemplo. Multipliquemos los números 5 + 6i y 4 + 7i. Obtenemos:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Número opuesto, inverso y conjugado

• El opuesto de un número complejo x + yi es −x − yi. Igual que con los números reales, obtenemos el opuesto multiplicando el número complejo dado por menos uno. Ejemplo: el opuesto de 2 + 7i es −2 − 7i. El opuesto de −5 + 8i es 5 − 8i, etc.

• El inverso de un número complejo x + yi es $\frac{1}{x+yi}$. El inverso del número 4 − 2i es, pues, $\frac{1}{4-2i}$.

• El conjugado del número x + yi es x − yi. Se suele denotar con una barra así: $\bar{z}$, o también con un asterisco z^∗. Es el número conjugado del número complejo z. El conjugado del número 2 + 9i es el número 2 − 9i.

Resta y división

Una vez definidos el opuesto y el inverso, podemos definir también las operaciones de resta y división. Si queremos restar dos números complejos, z₁ − z₂, sumamos al número z₁ el opuesto del número z₂. En la práctica obtenemos una fórmula sencilla:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Del mismo modo, la división z₁ / z₂ la convertimos en una multiplicación: calculamos z₁ · z₂′, donde z₂′ es el inverso del número z₂.

Módulo

El módulo de un número complejo z se calcula con la fórmula:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(En la raíz cuadrada, la segunda z es el conjugado de z.) El significado de esta fórmula se ve bien en la representación geométrica de los números complejos.

Todo número complejo cuyo módulo es igual a uno se llama número complejo de módulo 1. Ejemplos de números complejos de módulo 1: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Propiedades del módulo:

• El módulo de un número complejo es un número real.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z^∗|, donde z^∗ es el conjugado.