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Números enteros

Los números enteros son los números que no tienen parte decimal; incluyen los números naturales, sus opuestos (los números negativos) y el cero.

Propiedades

Números voladores

Los números enteros forman un conjunto que contiene los números …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … El conjunto se suele denotar con la letra Z, con el trazo central doble: ℤ, del alemán «Zahlen» (números). Los números enteros forman un conjunto numerable e infinito.

Los números enteros tienen, por ejemplo, estas propiedades:

  1. Son cerrados respecto de la suma y de la multiplicación, igual que los números naturales. Esto significa que si sumamos dos números enteros, obtenemos de nuevo un número entero.
  2. A diferencia de los números naturales, los números enteros son cerrados también respecto de la resta. Los naturales no lo eran porque la diferencia de dos números naturales podía ser un número negativo. En el caso de los enteros esto no es un problema, porque incluyen los números negativos.
  3. Igual que los números naturales, no son cerrados respecto de la división. Sigue siendo cierto que al dividir podemos obtener un número no entero.
  4. Para cada número entero c existe el número opuesto −c. Si tenemos el número 10, su opuesto es −10. Para 55 es −55. Y lo mismo con los números negativos: para −13 el opuesto es 13. Si tenemos un número entero c y su opuesto −c, su suma es cero: c + (−c) = 0. Por eso el opuesto del cero es de nuevo el cero.

Números pares e impares

Los números enteros se pueden dividir en pares e impares. Los números pares son los divisibles por dos, es decir, 2, −4, −8, 40, 124, etc. Los números impares dan resto uno al dividirlos entre dos, es decir, son los números −1, 1, 5, 19, −41, etc. Fíjate en que la paridad también se distingue en los números negativos (el número −5 es impar) y en que el cero es un número par.

Propiedades respecto de la suma: si sumas dos números pares, obtienes de nuevo un número par. Otras propiedades se muestran en la siguiente tabla:

par+par=parpar+impar=imparimpar+impar=par

Una tabla parecida para la multiplicación:

par⋅par=parpar⋅impar=parimpar⋅impar=impar

División entera

También en el conjunto de los números enteros podemos definir, de forma parecida a los números naturales, la división entera; solo tenemos que ocuparnos de los números negativos. Así, la definición básica queda esta vez de la siguiente manera:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

En esta expresión dividimos a:b; el número q representa el cociente y el número r el resto de la división. El número b tiene que ser distinto de cero, porque no se puede dividir entre cero. El resto tiene que ser no negativo y menor que el valor absoluto de b, lo que garantiza que el cociente y el resto sean únicos.

¿Cómo sería entonces una división así? Probemos a dividir −21:4. Los números quedarían así:

−21=−6⋅4+3

El cociente es −6 y el resto es 3. Puede sorprenderte que el resultado sea distinto del que obtendríamos si todos los números fueran positivos:

21=5⋅4+1

Aquí el cociente sería 5 y el resto 1. La diferencia está precisamente en los números negativos. En los números positivos, en el primer paso buscamos el mayor número entero que no es mayor que 21 y es divisible por cuatro sin resto. Ese número es el 20. Por eso dividimos 20:4 = 5 y obtenemos nuestro cinco. El resto lo obtenemos después como la diferencia 21 − 20.

En los números negativos procedemos igual. Buscamos el mayor número que no es mayor que −21 y es divisible sin resto por 4. Pero el número −20 es mayor que −21. Por eso el mayor número que no es mayor que −21 y es divisible sin resto por 4 es el −24. El resto lo obtenemos de nuevo como la diferencia −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

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