De dónde viene el número e

El número e es una de las constantes matemáticas más famosas, junto con el número pi, π. Vamos a ver cómo se llegó a este número y qué significa.

En el siglo XVII, el matemático suizo Jacob Bernoulli se interesó por el interés compuesto. Imaginemos que tenemos un euro y lo ingresamos en un banco que nos ofrece un interés anual del 100 %. Por parte del banco es una locura, pero ¿qué no haría por el bien de las matemáticas? ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta exactamente al cabo de un año? Pues tendremos dos euros.

¿Cómo cambiaría la situación si el banco nos ofreciera un interés del 50 % que se abonara cada seis meses? ¿Nos saldría más a cuenta o menos?

Después de los primeros seis meses tendríamos la mitad más. «La mitad más» se escribe en matemáticas como $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. En lugar de x ponemos nuestro depósito, es decir, un euro, y calculamos

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

A los seis meses tenemos en la cuenta 1,50 €. Pasados otros seis meses tendríamos de nuevo la mitad más. Usamos la misma fórmula, solo que en lugar de x ponemos nuestro nuevo saldo, es decir, 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Al cabo de un año tenemos, pues, 2,25 € en la cuenta. Abonar los intereses con más frecuencia y con un interés menor nos conviene.

Intereses cada mes

¿Y si el banco nos ofreciera abonar los intereses cada mes, pero con un interés de una doceava parte del interés original? Uf, esto ya requiere más cuentas. ¿Qué saldo tendremos después del primer mes? Tendremos «una doceava parte más», que se escribe $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Después del primer mes tendremos:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Después del segundo mes tendremos

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Fíjate, sin embargo, en que en lugar del número 1,0833333 podemos usar la expresión $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, porque sabemos que estos números son iguales:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Después del tercer mes tendremos en la cuenta:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Como ves, nuestro cálculo sigue un patrón. El paréntesis se repite tantas veces como el número del mes que estamos calculando. Podemos simplificar la expresión anterior: en lugar de tres paréntesis iguales escribimos uno y lo elevamos al cubo:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Y la multiplicación por uno del principio también sobra, así que la quitamos:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Si ahora queremos calcular el saldo después de doce meses, solo tenemos que poner en el exponente el número 12 en lugar del 3:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Después de doce meses tenemos en la cuenta aproximadamente 2,6130352 euros. ¡No está mal! Y es mucho mejor que cuando teníamos un interés anual del 100 %.

Interés continuo

No tenemos por qué detenernos en los meses. ¿Cuánto tendríamos si abonáramos los intereses cada semana, con un interés de $\frac{1}{52}$ del interés original? Como ya conocemos la fórmula, basta con sustituir:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

¿Interés diario?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

¿Interés cada hora? (Un año tiene 8760 horas)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vemos que siempre que tomamos un interés menor y lo abonamos con más frecuencia, al final tenemos algo más de dinero en la cuenta. Pero los aumentos ya no son tan grandes. Podríamos seguir así hasta el infinito. De hecho, no es mala idea: podríamos abonar los intereses cada minuto, cada segundo, cada milisegundo, cada nanosegundo… hasta llegar a abonarlos continuamente. Tendríamos un interés continuo y diminuto con el que se abonarían intereses al saldo en cada instante. ¿Cuánto dinero tendríamos en la cuenta al cabo de un año en ese caso?

De vuelta al número e

Esta es la pregunta que Jacob Bernoulli intentó resolver. Por desgracia no lo consiguió, y no fue hasta el siglo XVIII cuando lo logró el célebre matemático Leonhard Euler. Él calculó que al cabo de un año tendríamos en la cuenta

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

euros. Como ves, ya no es mucho más que cuando abonábamos el interés cada hora. Y como resultó que este saldo, este número, es muy importante en distintas ramas de las matemáticas, hoy se llama número e (o número de Euler) y lo denotamos con la letra e. El número e es un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Igual que, por ejemplo, el número π. Nunca lo verás entero. Aun así, podemos definir el número e con exactitud mediante un límite de una función:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Fuentes y enlaces

• Un episodio excelente del canal inglés Numberphile sobre el número e.
• Cómo calcular los intereses de una hipoteca