Infinito

El infinito es un concepto abstracto que, en el fondo, ni siquiera se puede imaginar. El infinito en sí no tiene fin, de ahí su nombre, pero el infinito en general tampoco tiene principio (aunque podemos concretarlo: por ejemplo, una semirrecta también es infinita, pero tiene un principio). El infinito se escribe normalmente con el llamado «ocho tumbado»: ∞.

Operamos con infinitos

El infinito se parece en parte al cero, que también es especial en muchos aspectos y para el que valen reglas especiales. Por ejemplo, no puedes dividir entre cero, eso lo sabe probablemente cualquier niño pequeño (por cierto, ¿conoces este chiste? ¿Cuál es la mejor excusa cuando no has hecho los deberes de mates? «Profe, sin querer me puse a dividir entre cero y se me quemó el cuaderno…» ;o)).

Igual que cualquier cosa por cero es cero, también ocurre que cualquier cosa por infinito o cualquier cosa más infinito es infinito. Si al infinito le restas un número por grande que sea, siempre te queda infinito. Y lo mismo si intentas dividir el infinito. El infinito es sencillamente tan grande que, aunque le restes millones cada segundo, siempre te seguirá quedando infinito. A veces cuesta un poco entenderlo; por ejemplo, tomemos esta ecuación: ∞ + 1 = ∞. ¿Se cumple o no?

La lógica nos dice que el miembro izquierdo de la ecuación es mayor: si al infinito le sumo uno, toda esa expresión tiene que ser mayor que el infinito a secas. Pues no tiene por qué :-). Como ya he dicho, infinito más cualquier cosa es infinito. Es decir, infinito más uno es infinito y el infinito es igual al infinito. La ecuación se cumple.

Se puede encontrar también otro camino, a través de los límites. Tomemos ahora la fracción 1/x y calculemos el límite por la derecha cuando x→0⁺, suponiendo que no se nos ha quemado el cuaderno. Ese límite sería igual a infinito. Si a esta expresión le sumas uno, tendrás la expresión (1+x)/x y el límite cuando x→0⁺ volvería a ser infinito.

La diversión empieza cuando combinamos varios infinitos. Por ejemplo, ¿a qué es igual la expresión infinito menos infinito? La lógica nos dice que restamos entre sí dos números igual de grandes, por tanto el resultado será cero. También he dicho que, si al infinito le restamos cualquier número, el resultado vuelve a ser infinito. En cambio, si a cualquier número le restamos infinito, nos sale menos infinito. Entonces, ¿cómo salimos de este lío? En teoría todos los resultados son posibles. Las matemáticas dicen que la expresión ∞ −∞ no es igual a nada concreto, es una expresión indefinida o indeterminada. Es un caso parecido a cuando intentas dividir entre cero: sencillamente no tiene sentido. Si te encuentras con una expresión indeterminada de este tipo, tienes que transformarla de alguna manera (en algunos tipos de indeterminaciones se puede usar, por ejemplo, la regla de L'Hôpital [se lee «lopital»]).

Otras expresiones indefinidas o indeterminadas:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Por cierto, sí valen las operaciones básicas con signos; por ejemplo, −1 · ∞ es igual a menos infinito.

¿Quieres volverte loco?

Entonces métete en la teoría de conjuntos y calcula qué conjunto es mayor. Por ejemplo, ¿es mayor el conjunto de los números pares o el de los impares? ¿Los pares o los naturales? ¿Los naturales o los enteros? ¿Los pares o los enteros? ¿Los naturales o los racionales? La respuesta es que todos son igual de grandes. Aunque pueda parecer raro (¡tiene que haber más números enteros que impares!), son conjuntos igual de grandes. En cambio, el conjunto de los números reales es mayor que los mencionados. No hay quien lo entienda ;-)