Intervalo

Los intervalos se usan mucho en matemáticas y aparecen en multitud de definiciones. Un intervalo es un conjunto de puntos limitado por dos puntos extremos. Además, distinguimos entre intervalos abiertos y cerrados.

Descripción básica

Usamos los intervalos también en el lenguaje cotidiano, por ejemplo: «por el color incorrecto de tus ojos, la Unión Europea puede ponerte una multa de entre cuatrocientos y ochocientos euros». En el ejemplo se usa la expresión «entre», pero matemáticamente se trata de un intervalo. Ahora surgen preguntas traicioneras: ¿te pueden multar con exactamente cuatrocientos euros o el valor extremo no cuenta? ¿Con cuánta finura se puede fijar la multa? ¿Pueden ponerte una multa de 741,68 €? ¿O solo se puede ir de diez en diez? Es decir, ¿740 € o 750 €?

Todo esto lo resuelve la notación matemática. Con ella tenemos que decir dos cosas esenciales: en qué conjunto nos movemos (en el contexto del ejemplo, ¿decenas de euros? ¿Centenas? ¿Euros enteros?) y si los puntos extremos pertenecen al intervalo (¿pueden ponerme una multa de exactamente cuatrocientos u ochocientos euros?).

La buena noticia es que, en la inmensa mayoría de los casos, en matemáticas queremos que el intervalo trabaje con el conjunto de los números reales, así que, si te encuentras con un intervalo sin especificar el conjunto, se trata sin duda de números reales.

Ya tenemos el conjunto de partida; ahora, ¿cómo indicamos si queremos tener en cuenta los puntos extremos? Los intervalos se escriben con paréntesis y corchetes. El paréntesis indica que ese extremo no pertenece al intervalo; el corchete indica que sí pertenece. A esto lo llamamos apertura y cierre. Si el extremo pertenece al intervalo, el intervalo es cerrado; si no pertenece, es abierto.

Ejemplos

A continuación hay unos ejemplos (todos en el conjunto de los números reales, salvo que se diga otra cosa):

• [1, 2]   Intervalo cerrado de uno a dos. Pertenecen al intervalo todos los números reales entre el uno y el dos, incluidos el uno y el dos.
• (1, 2)   Intervalo abierto de uno a dos. Pertenecen al intervalo todos los números reales entre el uno y el dos, pero los números uno y dos no pertenecen a él.
• [0, 1)   El intervalo es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha (semiabierto por la derecha). Pertenecen al intervalo todos los números entre el cero y el uno, incluido el propio cero, pero el uno no pertenece al intervalo.
• (p,q]   El intervalo es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (semiabierto por la izquierda). Pertenecen al intervalo todos los números entre p y q, incluido el número q, pero excluido el número p.
• [0,+∞)   Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Si en el intervalo aparece el infinito, usa de ese lado un extremo abierto: el infinito no es un punto extremo finito y un intervalo cerrado ahí no tiene sentido.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Aquí hay un cambio: no trabajamos con el conjunto de los números reales, sino con el conjunto de los números naturales. Tenemos un intervalo cerrado por ambos lados y en este intervalo hay en total cinco números: 1, 2, 3, 4 y 5.
• (1, 5] ⊂ ℕ   El mismo caso de antes, solo que el intervalo es abierto por la izquierda y por eso el uno no pertenece al intervalo; la lista de todos los elementos del intervalo es: 2, 3, 4 y 5.

El intervalo como conjunto

Como se ve, un intervalo no es más que un subconjunto del conjunto sobre el que está definido. Por eso podemos trabajar con los intervalos como con conjuntos y hacer con ellos operaciones con conjuntos. Por ejemplo, la unión podría ser así:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Ojo con los intervalos abiertos: ahí la igualdad no se cumpliría, porque el cinco no pertenece al intervalo resultante:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Lo correcto sería, por ejemplo:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

Cuándo usar un intervalo abierto

Es necesario entender la diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado. Un caso frecuente de uso de un intervalo abierto es, por ejemplo, el dominio del logaritmo. Podemos aplicar el logaritmo a cualquier número real positivo, lo que significa que no podemos usarlo con un número negativo, pero tampoco con el cero. ¿Cómo lo escribimos?

$$\mathrm{Dom}(\ln )=(0,+\mathrm{\infty })$$

Esta notación dice que podemos aplicar el logaritmo a cualquier número positivo, por pequeño que sea, pero no al cero. Así, por ejemplo, el número 1 pertenece al intervalo, el 0,001 también, y lo mismo el 0,0000000001 o 10⁻⁶⁶⁶. Pero el cero ya no pertenece al intervalo. De forma parecida podríamos escribir el dominio de una función con una fracción, por ejemplo la sencilla f(x) = 1/x.

$$\mathrm{Dom}(f)=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$$

Esto nos delimita el conjunto de los números reales sin el cero. En ninguno de los dos intervalos está el cero en el lugar de un extremo cerrado, por eso tampoco estará el cero en la unión resultante. Sin embargo, podemos usar cualquier número positivo tan pequeño como queramos o cualquier número negativo tan grande como queramos (entre los números negativos, -0,001 es mayor que -0,1, por eso decimos «tan grande como queramos» y no «tan pequeño como queramos»).

Interpretación geométrica

Los intervalos se representan normalmente en la recta numérica como segmentos; los puntos extremos se dibujan según el intervalo sea cerrado o abierto. Si el intervalo es cerrado, el círculo que representa el punto estará relleno; si es abierto, no estará relleno, será solo el contorno, solo una circunferencia.

La figura siguiente muestra tres intervalos, siempre de dos a seis, que se diferencian en el cierre de sus extremos. Así, por orden, se representan estos intervalos: [2, 6], (2, 6], (2, 6).