Números algebraicos

Un número que es raíz de algún polinomio con coeficientes enteros se llama número algebraico. ¿Qué significa esto en la práctica? Podemos tomar cualquier número y jugar con él a un juego matemático. El objetivo del juego es tomar un número x y reducirlo a cero, pero solo podemos usar las operaciones de suma, resta, multiplicación y potencias, y para hacer los cambios solo podemos usar números enteros. Con ejemplos quedará más claro.

Empecemos con el número 42. ¿Cómo lo transformaríamos para obtener cero? Podemos restarle el número entero 42 y obtenemos cero (multiplicar por cero no está permitido):

$42 - 42 = 0$

Como hemos conseguido reducir el número 42 a cero, el número 42 es algebraico. Esto era bastante trivial. ¿Y una fracción, por ejemplo $\frac{7}{3}$ ? Como solo podemos trabajar con números enteros, no podemos restarle $\frac{7}{3}$ a esta fracción para obtener cero. Tenemos que arreglárnoslas de otra manera. Primero multiplicamos la fracción por tres:

$3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$

Hemos obtenido un número entero, y ese ya sabemos convertirlo en cero: restamos siete. Podemos escribir

$3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 0$

y podemos decir que la fracción siete tercios también es un número algebraico. Tomemos un número todavía más complicado, la raíz de dos: $\sqrt{2}$ . Ninguna multiplicación ni suma nos ayudará; primero tenemos que deshacernos de la raíz. Elevamos la expresión al cuadrado:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

Hemos obtenido un número entero, que sabemos convertir en cero: restamos dos:

${(\sqrt{2})}^{2} - 2 = 0$

Incluso la raíz de dos, que es un número irracional, es un número algebraico. De momento parece que todo número que probamos es algebraico. ¿Y qué pasa con el número e? También es irracional, así que tiene una expresión decimal infinita sin repetición, igual que la raíz de dos. Su valor aproximado es 2,71. Pero, a diferencia de la raíz de dos, no existe ninguna manera de reducirlo a cero con las operaciones que nos hemos permitido. Por mucho que sumemos algo al número e, lo multipliquemos o lo elevemos a una potencia, siempre obtendremos otro número irracional. Por eso el número e no es un número algebraico, ¡hurra!

Del mismo modo, el número pi (3,14) no es un número algebraico.

A los números que no son algebraicos los llamamos trascendentes.

Definición más precisa

Para cada número algebraico tiene que existir, por tanto, un polinomio con coeficientes enteros cuya raíz sea precisamente ese número algebraico. Una raíz de un polinomio es un número para el cual el polinomio vale cero. Volviendo a los ejemplos de arriba, para el número 42 obtendríamos la ecuación

$x - 42 = 0$

y como la raíz del polinomio x − 42 es precisamente x = 42, esto significa que 42 es un número algebraico. Para el número racional $\frac{7}{3}$ sería la ecuación

$3 x - 7 = 0$

porque la raíz del polinomio 3x − 7 es precisamente $x = \frac{7}{3}$ . Y, por último, para la raíz de dos obtendríamos

$x^{2} - 2 = 0$

porque la raíz del polinomio x² − 2 es precisamente la raíz de dos. Para el número e o para el número pi no somos capaces de construir ninguna ecuación ni polinomio de este tipo, porque son números trascendentes y no son números algebraicos.

Ejemplos de números algebraicos

Todo número entero es también algebraico.
Todo número racional (fracción) es algebraico.
Los números irracionales ya son más complicados. Como hemos visto, algunos números irracionales son algebraicos, como la raíz de dos, pero otros no lo son, como el número e.
Toda raíz n-ésima de un número entero es algebraica.
El número áureo es un número algebraico.

Enlaces y fuentes

« Anterior: Números reales

Siguiente: Números complejos »