Completar el cuadrado

Con el método de completar el cuadrado podemos expresar la función cuadrática ax² + bx + c en la forma (x + m)² + n.

Algoritmo para completar el cuadrado

El algoritmo utiliza la fórmula clásica para elevar un binomio al cuadrado:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

El procedimiento es el siguiente. De momento supongamos que a = 1. Imaginemos que tenemos la función cuadrática f(x) = x² + 6x + 1 y queremos transformarla a la forma (x + m)² + n. Primero determinamos los valores del primer paréntesis: (x + m)². ¿Qué número tenemos que poner en lugar de m? Según la fórmula tiene que cumplirse la igualdad (x + m)² = x² + 2mx + m². En la función f tenemos x², eso está bien. Pero en el lugar del término lineal tenemos 6x. ¿Qué valor tenemos que elegir para m para que se cumpla 6x = 2mx? Evidentemente tiene que ser m = b/2 = 6/2 = 3. En lugar de m ponemos, pues, siempre la mitad del valor del número b de la función cuadrática.

Hemos obtenido así la forma (x + 3)² + n. Falta determinar el número n. Ya sabemos que (x + m)² = x² + 2mx + m². La parte x² + 2mx es la que queremos, pero la expresión m² nos sobra, en la función f no hay nada equivalente. Por eso al resultado actual le restamos m². Obtenemos así la forma (x + m)² − m², que, al desarrollar, es igual a x² + 2mx + m² − m². Después de restar nos queda solo x² + 2mx.

Pero en la función f todavía tenemos el término independiente c. Ese lo sumamos sin más. Obtenemos así la forma (x + m)² − m² + c, tras desarrollar x² + 2mx + m² − m² + c y tras simplificar x² + 2mx + c. Como m = b/2, esta expresión es igual a x² + bx + c; es decir, al desarrollar la expresión (x + m)² − m² + c recuperamos la función original, así que hemos calculado bien. (Repito que a = 1, por eso no falta en ninguna parte.)

Para la función de ejemplo f obtenemos entonces la expresión en forma de cuadrado (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Podemos comprobarlo desarrollándola de nuevo:

$$\begin{array}{rcl}(x+3{)}^2-8& =& x^2+6x+9-8\\ & =& x^2+6x+1\end{array}$$

El método de completar el cuadrado se usa, por ejemplo, cuando quieres dibujar la gráfica de una función cuadrática.

Cuando a ≠ 1

Cuando tenemos una función para la que no se cumple a = 1, procedemos sacando factor común el número a en toda la función y continuamos como ya sabemos. Ejemplo:

$$2x^2+16x-12=0$$

Sacamos factor común el dos en toda la función:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=0$$

La función dentro del paréntesis ya sabemos transformarla en un cuadrado.

$$x^2+8x-6=(x+4{)}^2-16-6=(x+4{)}^2-22$$

Sustituimos este resultado en la ecuación anterior y obtenemos:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=2((x+4{)}^2-22)=2(x+4{)}^2-44$$