Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierówność wykładnicza to równanie wykładnicze, w którym zamiast znaku równości stoi znak nierówności. Na przykład taka:

$$2^x>8$$

Postępowanie zaczyna się tak samo jak przy równaniu. Ósemkę zapisujemy jako potęgę dwójki:

$$2^x>2^3$$

Przy równaniu 2^x = 2³ porównalibyśmy teraz wykładniki i wyszłoby x = 3. Dlaczego wolno nam tak zrobić? Funkcja 2^x jest rosnąca: im większy wykładnik, tym większa potęga. Dlatego żadnej wartości nie przyjmuje dwa razy, a dwie potęgi dwójki są równe tylko wtedy, gdy mają ten sam wykładnik. To samo rozumowanie pomoże też przy nierówności, musimy tylko dodatkowo rozstrzygnąć, w którą stronę. Dwójka do jakiejś potęgi jest większa niż dwójka do trzeciej wtedy i tylko wtedy, gdy ten wykładnik jest większy niż trzy:

$$x>3$$

Rozwiązaniem jest przedział (3, ∞). Zgadza się: 2⁴ = 16 to więcej niż osiem, ale 2² = 4 już nie. Na rysunku jest to ta część osi x, nad którą czerwony wykres leży wyżej niż zielona prosta.

Inaczej wypada nierówność z podstawą mniejszą od jedności, na przykład ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funkcja ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ jest malejąca: im większy wykładnik, tym więcej razy mnożymy przez jedną drugą i tym mniejsza liczba wychodzi. Na rysunku jest niebieska:

Ponad prostą y = 8 wznosi się tylko na lewo od −3, więc nierówność ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ ma rozwiązanie x < −3. Znak się odwrócił. Cała tajemnica nierówności wykładniczych kryje się w tej regule:

• podstawa większa od jedności: funkcja jest rosnąca i znak nierówności zostaje,
• podstawa między zerem a jedynką: funkcja jest malejąca i znak się odwraca.

Podstawa mniejsza od jedności

Zabierzmy się do nierówności

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Dziewiątkę musimy zapisać jako potęgę jednej trzeciej. Jedna trzecia do minus pierwszej daje trzy, jedna trzecia do minus drugiej daje dziewięć:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Podstawy się zgadzają, ale podstawa $\frac{1}{3}$ jest mniejsza od jedności. Porównujemy więc wykładniki i odwracamy znak:

$$x\le -2$$

Rozwiązaniem jest przedział (−∞, −2⟩. Sprawdzamy dla x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, a to rzeczywiście więcej niż dziewięć.

Najczęstszy błąd w takich przykładach brzmi: nie odwróciłem znaku. Kto napisze x ≥ −2, ten uzna za rozwiązanie na przykład zero. Tymczasem ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, a jedynka jest mniejsza od dziewięciu.

Jeśli nie lubisz pracować z ułamkami w podstawie, możesz $\frac{1}{3}$ zapisać jako 3⁻¹. Nierówność brzmi wtedy 3^−x ≥ 3², czyli −x ≥ 2. Podstawa jest tym razem większa od jedności i znak zostaje, ale przy dzieleniu przez minus jeden się odwraca, zgodnie z regułami przekształcania nierówności. Wychodzi znów x ≤ −2. Znak się odwraca tak czy inaczej.

Gdy nie da się dojść do tej samej podstawy

W nierówności 3^x < 5 piątki nie zapiszemy jako potęgi trójki z całkowitym wykładnikiem. Radzimy sobie tak samo jak przy równaniach: obie strony logarytmujemy, tym razem logarytmem o podstawie trzy. Jest on rosnący, więc znak się nie zmienia: log₃ 3^x < log₃ 5, czyli x < log₃ 5. Wynik spokojnie zostawiamy w tej postaci. Przybliżone położenie tej liczby zdradza nierówność 3 < 5 < 9, więc log₃ 5 leży między log₃ 3 = 1 a log₃ 9 = 2.

Nierówności logarytmiczne

Przy nierównościach logarytmicznych obowiązuje ta sama reguła o podstawie i dochodzi jeden warunek, który znamy z równań logarytmicznych: argument logarytmu musi być dodatni. Spróbujmy na nierówności

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Najpierw warunek: x − 1>0, czyli x>1. Potem trójkę zapisujemy jako logarytm o podstawie dwa, bo 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Podstawa dwa jest większa od jedności, logarytm jest rosnący i znak zostaje:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Na koniec łączymy wynik z warunkiem. Musi zachodzić x>1 i jednocześnie x<9, więc rozwiązaniem jest przedział (1, 9). Dla sprawdzenia bierzemy x = 5: log₂ 4 = 2, a to rzeczywiście mniej niż trzy.

Na rysunku widać rozwiązanie: czerwony wykres leży poniżej zielonej prostej dla wszystkich x od jednego do dziewięciu. Na lewo od jedynki wykresu w ogóle nie ma, bo logarytm tam nie istnieje. To właśnie warunek x>1.

Tutaj popełnia się inny błąd niż przy nierównościach wykładniczych. Kto zapomni o warunku, napisze wynik x<9. Należy do niego jednak także zero, a log₂(0 − 1) = log₂(−1) nie istnieje. Przy równaniu zapomniany warunek zdradziłoby sprawdzenie, ale przy nierówności wychodzi nieskończenie wiele liczb i nie da się podstawić wszystkich. Warunek zapisujemy więc zawsze od razu na początku.

W ostatnim przykładzie spotykają się obie pułapki:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Warunek to x>0. Dwójkę zapisujemy jako logarytm o podstawie jedna druga, bo ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Podstawa jest mniejsza od jedności, więc znak odwraca się po raz drugi:

$$x<\frac{1}{4}$$

Z warunkiem x>0 dostajemy rozwiązanie $(0,\frac{1}{4})$. Sprawdzamy na przykład $x=\frac{1}{8}$: jedna druga do trzeciej to jedna ósma, więc ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, a to rzeczywiście więcej niż dwa.