Eksponentti- ja logaritmiepäyhtälöt

Eksponenttiepäyhtälö on eksponenttiyhtälö, jossa yhtäsuuruusmerkin tilalla on epäyhtälömerkki. Esimerkiksi tämä:

$$2^x>8$$

Ratkaiseminen alkaa samoin kuin yhtälössä. Kahdeksan kirjoitetaan kakkosen potenssina:

$$2^x>2^3$$

Yhtälössä 2^x = 2³ verrattaisiin nyt eksponentteja, ja tulisi x = 3. Miksi se on sallittua? Funktio 2^x on aidosti kasvava: mitä suurempi eksponentti, sitä suurempi potenssi. Se ei siis saa mitään arvoa kahdesti, ja kaksi kakkosen potenssia ovat yhtä suuret vain, jos niillä on sama eksponentti. Sama päättely auttaa myös epäyhtälössä, mutta lisäksi täytyy päättää, mihin suuntaan. Kakkonen potenssiin jokin on suurempi kuin kakkonen potenssiin kolme täsmälleen silloin, kun tuo jokin on suurempi kuin kolme:

$$x>3$$

Ratkaisu on väli ]3, ∞[. Täsmää: 2⁴ = 16 on enemmän kuin kahdeksan, mutta 2² = 4 ei ole. Kuvassa se on se x-akselin osa, jonka kohdalla punainen kuvaaja on vihreää suoraa ylempänä.

Toisin käy epäyhtälössä, jossa kantaluku on pienempi kuin yksi, esimerkiksi ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funktio ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ on aidosti vähenevä: mitä suurempi eksponentti, sitä useammin kerrotaan puolikkaalla ja sitä pienempi luku saadaan. Kuvassa se on sinisellä:

Suoran y = 8 yläpuolelle kuvaaja nousee vain luvun −3 vasemmalla puolella, joten epäyhtälön ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ ratkaisu on x < −3. Epäyhtälömerkki kääntyi. Koko eksponenttiepäyhtälöiden taika on tässä säännössä:

• kantaluku suurempi kuin yksi: funktio on aidosti kasvava, ja epäyhtälömerkki pysyy,
• kantaluku nollan ja ykkösen välissä: funktio on aidosti vähenevä, ja epäyhtälömerkki kääntyy.

Kantaluku pienempi kuin yksi

Ratkaistaan epäyhtälö

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Yhdeksän täytyy kirjoittaa kolmasosan potenssina. Kolmasosa potenssiin miinus yksi on kolme, kolmasosa potenssiin miinus kaksi on yhdeksän:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Kantaluvut ovat samat, mutta kantaluku $\frac{1}{3}$ on pienempi kuin yksi. Eksponentteja siis verrataan ja epäyhtälömerkki käännetään:

$$x\le -2$$

Ratkaisu on väli ]−∞, −2]. Tarkistetaan luvulla x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, mikä on todella enemmän kuin yhdeksän.

Yleisin virhe näissä tehtävissä on: en kääntänyt epäyhtälömerkkiä. Se, joka kirjoittaa x ≥ −2, hyväksyisi esimerkiksi nollan. Mutta ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, ja yksi on pienempi kuin yhdeksän.

Jos murtoluvut kantalukuina tuntuvat hankalilta, voit kirjoittaa $\frac{1}{3}$:n muodossa 3⁻¹. Epäyhtälö on silloin 3^−x ≥ 3², eli −x ≥ 2. Kantaluku on nyt suurempi kuin yksi, joten merkki pysyy, mutta jaettaessa luvulla miinus yksi se kääntyy epäyhtälön muunnossääntöjen mukaan. Tulokseksi tulee taas x ≤ −2. Merkki kääntyy joka tapauksessa.

Kun samaa kantalukua ei saada

Epäyhtälössä 3^x < 5 viittä ei voi kirjoittaa kolmen potenssina kokonaislukueksponentilla. Toimitaan samoin kuin yhtälöissä: molemmilta puolilta otetaan logaritmi, tällä kertaa kantalukuna kolme. Tämä logaritmi on aidosti kasvava, joten epäyhtälömerkki ei muutu: log₃ 3^x < log₃ 5, eli x < log₃ 5. Tulos voidaan hyvin jättää tähän. Luvun likimääräisen sijainnin paljastaa epäyhtälö 3 < 5 < 9, joten log₃ 5 on lukujen log₃ 3 = 1 ja log₃ 9 = 2 välissä.

Logaritmiepäyhtälöt

Logaritmiepäyhtälöissä pätee sama kantalukua koskeva sääntö, ja mukaan tulee yksi ehto, joka tunnetaan logaritmiyhtälöistä: logaritmin argumentin täytyy olla positiivinen. Kokeillaan epäyhtälöä

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Ensin ehto: x − 1>0, eli x>1. Sitten kolmonen kirjoitetaan logaritmina, jonka kantaluku on kaksi, koska 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Kantaluku kaksi on suurempi kuin yksi, logaritmi on aidosti kasvava ja epäyhtälömerkki pysyy:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Lopuksi tulos yhdistetään ehtoon. Täytyy päteä x>1 ja samalla x<9, joten ratkaisu on väli ]1, 9[. Tarkistukseksi otetaan x = 5: log₂ 4 = 2, mikä on todella vähemmän kuin kolme.

Kuvasta ratkaisu näkyy: punainen kuvaaja on vihreän suoran alapuolella kaikilla x yhdestä yhdeksään. Ykkösen vasemmalla puolella kuvaajaa ei ole lainkaan, koska siellä logaritmia ei ole olemassa. Se on ehto x>1.

Tässä virhe tehdään eri tavalla kuin eksponenttiepäyhtälöissä. Se, joka unohtaa ehdon, kirjoittaa tulokseksi x<9. Siihen kuuluu kuitenkin myös nolla, ja log₂(0 − 1) = log₂(−1) ei ole olemassa. Yhtälössä unohtuneen ehdon paljastaisi tarkistus, mutta epäyhtälössä tulokseksi tulee äärettömän monta lukua, eikä niitä kaikkia voi sijoittaa. Siksi ehto kirjoitetaan aina heti alkuun.

Viimeisessä esimerkissä kohdataan molemmat sudenkuopat:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Ehto on x>0. Kakkonen kirjoitetaan logaritmina, jonka kantaluku on puolikas, koska ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Kantaluku on pienempi kuin yksi, joten epäyhtälömerkki kääntyy toisen kerran:

$$x<\frac{1}{4}$$

Ehdon x>0 kanssa ratkaisuksi saadaan $]0,\frac{1}{4}[$. Tarkistetaan vaikka luvulla $x=\frac{1}{8}$: puolikas potenssiin kolme on kahdeksasosa, joten ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, ja se on todella enemmän kuin kaksi.