Inequações exponenciais e logarítmicas

Uma inequação exponencial é uma equação exponencial em que, no lugar do sinal de igualdade, há um sinal de desigualdade. Por exemplo, esta:

$$2^x>8$$

O procedimento começa como na equação. Escrevemos o oito como potência de dois:

$$2^x>2^3$$

Na equação 2^x = 2³ compararíamos agora os expoentes e obteríamos x = 3. Por que podemos fazer isso? A função 2^x é crescente: quanto maior o expoente, maior a potência. Por isso ela não assume nenhum valor duas vezes, e duas potências de dois são iguais somente quando têm o mesmo expoente. O mesmo raciocínio nos ajuda também na inequação; só precisamos decidir, além disso, em que sentido. Dois elevado a algo é maior que dois elevado a três exatamente quando esse algo é maior que três:

$$x>3$$

A solução é o intervalo ]3, +∞[. Confere: 2⁴ = 16 é mais que oito, mas 2² = 4 não. Na figura, é a parte do eixo x sobre a qual o gráfico vermelho está mais alto que a reta verde.

Já a inequação com base menor que um, por exemplo ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$, tem outro desfecho. A função ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ é decrescente: quanto maior o expoente, mais vezes multiplicamos por um meio e menor o número que resulta. Na figura ela está em azul:

Ela só passa acima da reta y = 8 à esquerda de −3, então a inequação ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ tem solução x < −3. O sinal se inverteu. Toda a mágica das inequações exponenciais está nesta regra:

• base maior que um: a função é crescente e o sinal de desigualdade se mantém,
• base entre zero e um: a função é decrescente e o sinal se inverte.

Base menor que um

Vamos à inequação

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Precisamos escrever o nove como potência de um terço. Um terço elevado a menos um dá três, um terço elevado a menos dois dá nove:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

As bases coincidem, só que a base $\frac{1}{3}$ é menor que um. Então comparamos os expoentes e invertemos o sinal:

$$x\le -2$$

A solução é o intervalo ]−∞, −2]. Verificamos com x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, que de fato é mais que nove.

O erro mais comum nesses exercícios é: não inverti o sinal. Quem escreve x ≥ −2 teria, por exemplo, o zero como solução. Só que ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ e um é menor que nove.

Se você não se dá bem com frações na base, pode reescrever $\frac{1}{3}$ como 3⁻¹. A inequação fica então 3^−x ≥ 3², isto é, −x ≥ 2. Desta vez a base é maior que um e o sinal se mantém, mas, ao dividir por menos um, ele se inverte conforme as regras de transformação de inequações. Obtemos de novo x ≤ −2. O sinal se inverte de qualquer maneira.

Quando não dá para obter a mesma base

Na inequação 3^x < 5, não conseguimos escrever o cinco como potência de três com expoente inteiro. Damos um jeito como nas equações: aplicamos logaritmo aos dois membros, desta vez de base três. Ele é crescente, então o sinal não muda: log₃ 3^x < log₃ 5, ou seja, x < log₃ 5. Podemos deixar o resultado assim mesmo. A posição aproximada do número se revela pela desigualdade 3 < 5 < 9, de modo que log₃ 5 está entre log₃ 3 = 1 e log₃ 9 = 2.

Inequações logarítmicas

Nas inequações logarítmicas vale a mesma regra sobre a base e acrescenta-se uma condição que conhecemos das equações logarítmicas: o logaritmando deve ser positivo. Vamos tentar na inequação

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Primeiro a condição de existência: x − 1>0, ou seja, x>1. Depois escrevemos o três como logaritmo de base dois, porque 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

A base dois é maior que um, o logaritmo é crescente e o sinal se mantém:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Por fim juntamos o resultado com a condição. Deve valer x>1 e, ao mesmo tempo, x<9, então a solução é o intervalo ]1, 9[. Para conferir, tomamos x = 5: log₂ 4 = 2, que de fato é menos que três.

Na figura a solução fica visível: o gráfico vermelho está abaixo da reta verde para todos os x de um a nove. À esquerda do um, o gráfico simplesmente não existe, porque ali o logaritmo não existe. Essa é a condição x>1.

Aqui o erro típico é diferente do das inequações exponenciais. Quem esquece a condição escreve o resultado x<9. Mas nele cabe também o zero, e log₂(0 − 1) = log₂(−1) não existe. Na equação, a condição esquecida seria revelada pela verificação, mas, na inequação, resultam infinitos números e não dá para substituir todos. Por isso escrevemos a condição sempre logo no início.

No último exemplo as duas armadilhas se encontram:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

A condição é x>0. Escrevemos o dois como logaritmo de base um meio, porque ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

A base é menor que um, então o sinal se inverte pela segunda vez:

$$x<\frac{1}{4}$$

Com a condição x>0 obtemos a solução $]0,\frac{1}{4}[$. Verificamos, por exemplo, $x=\frac{1}{8}$: um meio elevado ao cubo é um oitavo, então ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, e isso é realmente mais que dois.