Inéquations exponentielles et logarithmiques

Une inéquation exponentielle est une équation exponentielle dans laquelle le signe égal est remplacé par un signe d’inégalité. Par exemple :

$$2^x>8$$

La démarche commence comme pour une équation. On écrit huit comme puissance de deux :

$$2^x>2^3$$

Pour l’équation 2^x = 2³, on comparerait maintenant les exposants et l’on trouverait x = 3. Pourquoi a-t-on le droit de faire cela ? La fonction 2^x est strictement croissante : plus l’exposant est grand, plus la puissance est grande. Elle ne prend donc jamais deux fois la même valeur, et deux puissances de deux ne sont égales que si elles ont le même exposant. Le même raisonnement nous aide pour l’inéquation, à condition de décider en plus dans quel sens. Une puissance de deux est supérieure à deux au cube exactement lorsque son exposant est supérieur à trois :

$$x>3$$

La solution est l’intervalle ]3 ; +∞[. C’est cohérent : 2⁴ = 16 est bien plus grand que huit, mais 2² = 4 ne l’est pas. Sur la figure, c’est la partie de l’axe des abscisses au-dessus de laquelle la courbe rouge est plus haute que la droite verte.

Le résultat est différent avec une base inférieure à un, par exemple ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. La fonction ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ est strictement décroissante : plus l’exposant est grand, plus on multiplie de fois par un demi, et plus le résultat est petit. Elle est tracée en bleu sur la figure :

La courbe ne dépasse la droite y = 8 qu’à gauche de −3, donc l’inéquation ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ a pour solution x < −3. Le sens de l’inégalité s’est inversé. Toute la subtilité des inéquations exponentielles tient à cette règle :

• base supérieure à un : la fonction est strictement croissante et le sens de l’inégalité ne change pas,
• base entre zéro et un : la fonction est strictement décroissante et le sens de l’inégalité s’inverse.

Base inférieure à un

Abordons l’inéquation

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Il faut écrire neuf comme puissance de un tiers. Un tiers à la puissance moins un donne trois, et un tiers à la puissance moins deux donne neuf :

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Les bases sont identiques, mais la base $\frac{1}{3}$ est inférieure à un. On compare donc les exposants en inversant le sens de l’inégalité :

$$x\le -2$$

La solution est l’intervalle ]−∞ ; −2]. Vérifions avec x = −3 : ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, ce qui est bien plus que neuf.

L’erreur la plus fréquente dans ces exercices : oublier d’inverser le sens de l’inégalité. Si l’on écrit x ≥ −2, on accepte par exemple zéro. Or ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, et un est plus petit que neuf.

Si les fractions dans la base ne te plaisent pas, tu peux écrire $\frac{1}{3}$ sous la forme 3⁻¹. L’inéquation devient alors 3^−x ≥ 3², soit −x ≥ 2. Cette fois la base est supérieure à un, donc le sens de l’inégalité ne change pas, mais la division par moins un renverse le sens de l’inégalité selon les règles de transformation des inéquations. On obtient à nouveau x ≤ −2. Le sens de l’inégalité s’inverse de toute façon.

Quand on ne peut pas utiliser la même base

Dans l’inéquation 3^x < 5, on ne peut pas écrire cinq comme puissance entière de trois. On procède comme pour les équations : on prend le logarithme des deux membres, cette fois en base trois. Cette fonction est strictement croissante, le sens de l’inégalité ne change donc pas : log₃ 3^x < log₃ 5, soit x < log₃ 5. On peut laisser le résultat tel quel. Une valeur approchée se devine grâce à l’encadrement 3 < 5 < 9 : log₃ 5 est compris entre log₃ 3 = 1 et log₃ 9 = 2.

Inéquations logarithmiques

Pour les inéquations logarithmiques, la règle sur la base est la même, et il s’y ajoute une condition connue des équations logarithmiques : l’argument du logarithme doit être strictement positif. Essayons avec :

$${\log }_2(x-1)<3.$$

D’abord la condition : x − 1>0, donc x>1. Ensuite, on écrit trois comme logarithme de base deux, car 2³ = 8 :

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

La base deux est supérieure à un, le logarithme est strictement croissant, et le sens de l’inégalité ne change pas :

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

On combine enfin ce résultat avec la condition. Il faut x>1 et x<9, donc la solution est l’intervalle ]1 ; 9[. Pour contrôle, prenons x = 5 : log₂ 4 = 2, ce qui est bien inférieur à trois.

Sur la figure, la solution se lit ainsi : la courbe rouge est sous la droite verte pour tous les x entre un et neuf. À gauche de un, la courbe n’existe pas, car le logarithme n’est pas défini : c’est la condition x>1.

Ici on se trompe autrement que pour les inéquations exponentielles. Celui qui oublie la condition écrit x<9. Mais alors zéro serait aussi solution, et log₂(0 − 1) = log₂(−1) n’existe pas. Pour une équation, une condition oubliée se trahit à la vérification ; pour une inéquation, il y a une infinité de nombres et on ne peut pas tous les tester. On écrit donc la condition tout de suite, au début.

Dans le dernier exemple, les deux pièges se rencontrent :

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

La condition est x>0. On écrit deux comme logarithme de base un demi, car ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ :

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

La base est inférieure à un, donc le sens de l’inégalité s’inverse une seconde fois :

$$x<\frac{1}{4}$$

Avec la condition x>0, on obtient la solution $]0;\frac{1}{4}[$. Vérifions par exemple avec $x=\frac{1}{8}$ : un demi à la puissance trois donne un huitième, donc ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, et c’est bien plus que deux.